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第五章 信号处理初步

5-1 求h(t)的自相关函数。

?ateh(t)?0?(t?0,a?0) (t?0)解：这是一种能量有限的确定性信号，所以

Rh(?)??h(t)h(t??)dt??e?ate?a(t??)dt???0??1?a?e 2a5-2 假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 x(t)=A1cos(?1t+?1)+ A2cos(?2t+?2) 求该信号的自相关函数。

解：设x1(t)=A1cos(?1t+?1)；x2(t)= A2cos(?2t+?2)，则

Rx(?)?lim

1T[x1(t)?x2(t)][x1(t??)?x2(t??)]dtT??2T??T1T1T?limx(t)x(t??)dt?limx1(t)x2(t??)dt11 T??2T??TT??2T??T1T1T?limx2(t)x1(t??)dt?limx2(t)x2(t??)dtT??2T??TT??2T??T?Rx1(?)?Rx1x2(?)?Rx2x1(?)?Rx2(?)因为?1??2，所以Rx1x2(?)?0，Rx2x1(?)?0。 又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以

Rx1(?)?

1T1A1cos(?1t??1)A1cos[?1(t??)??1]dt?0T1A12T11??cos??1t??1??1(t??)??1?cos??1t??1??1(t??)??1??dtT1?02 T1A12?T1??cos?2?1t??1??2?1?dt??cos(??1?)dt???00??2T1T1A12A12?0?tcos(?1?)?cos(?1?)2T120A22cos(?2?) 同理可求得Rx1(?)?2A12A22cos(?1?)?cos(?2?) 所以Rx(?)?Rx1(?)?Rx2(?)?225-3 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。

Word 资料

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x(t) 1 sin(?t) 0 -1 y(t) 1 T t 0 -1 图5-24 题5-3图

解法1：按方波分段积分直接计算。

t

1T1TRxy(?)??x(t)y(t??)dt??x(t??)y(t)dtT0T03TT?1?T44???(?1)sin(?t???)dt??T1gsin(?t???)dt??3T(?1)sin(?t???)dt? T?044?2?sin(??)?解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。

y(t)??4?11?cos?t?cos3?t?cos5?t?LL? ??35??Rxy(?)?所以

1T1T?4?x(t)y(t??)dt?sin(?t)???cos(?t???)dt??00TT???T41???sin(?t??t???)?sin(?t??t???)?dt?T?02

T2?T??sin(2?t???)dt??sin(??)dt???0?0??T?22???0?Tsin(??)??sin(??)?T?解法3：直接按Rxy(?)定义式计算(参看下图)。

1TRxy(?)??x(t)y(t??)dtT03T????T?1?T44???(?1)sin(?t)dt??T1gsin(?t)dt??3T(?1)sin(?t???)dt?

????T?044?2?sin(??)?Word 资料

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x(t) 1 sin(?t) 0 -1 y(t) 1 T t 0 -1 y(t+?) 1 T4? 3T4T t 0 -1

T??43T??4T t 参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数

T?41??0????T2?4T Ry(?)????3???T2?T??Ry(??nT)n?0,?1,?2,LLRy(?) T/2 0 T ?

5-4 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(?)和输入—输出的互相关函数Rx(?)之间的关系为Rx(?)=Rxy(?+T)，试说明该系统起什么作用？

方波的自相关函数图

Word 资料

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x(t) 系 统 y(t) Rx(?) Rxy(?) 0 ? 图5-25 题5-4图

0 T ?

解：因为Rx(?)=Rxy(?+T)

1T1T所以lim?x(t)x(t??)dt?lim?x(t)y(t???T)dt

T??T0T??T0所以x(t+?)=y(t+?+T)

令t1 = t+?+T，代入上式得 x(t1 - T)=y(t1)，即y(t) = x(t - T)

结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。

5-5 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。 解：设信号x(t)的均值为?x，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则 x(t) = ?x + x1(t)

Rx(?)?lim

1T1Tx(t)x(t??)dt?lim??x?x1(t)???x?x1(t??)?dtT??T?0T??T?01T2?lim?????xx1(t)??xx1(t??)?x1(t)x1(t??)?x?dtT??T0?

TTT1T?lim???x2dt???xx1(t)dt???xx1(t??)dt??x1(t)x1(t??)dt??0?000T??T??22??x?0?0?Rx1(?)??x?Rx1(?)2如果x1(t)不含周期分量，则limRx1(?)?0，所以此时limRx(?)??x；如果x(t)含周期分量，则Rx(?)中

??????必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量，则Rx(?)中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x02/2； 根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，参见下面的图。例如：如果limRx(?)?C，则?x??C。

???Word 资料

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Rx(?) ?x2+ ?x2 ?x2 0 ? ?x2- ?x2 自相关函数的性质图示 Rx(?) x0220 含有简谐周期分量的自相关函数的图

?

5-6 已知信号的自相关函数为Acos??，请确定该信号的均方值?x2和均方根值xrms。 解：Rx(?)=Acos?? ?x2= Rx(0)=A

2xrms??x?A 5-7 应用巴塞伐尔定理求

????sinc2(t)dt积分值。

解：令x(t)=sinc(t)，其傅里叶变换为

11?????f??X(f)??2?2?

??0其他???12?1?2?根据巴塞伐尔定理得

???sinc(t)dt??x(t)dt????22??X(f)df??2?2df??2?1??1???? 2?2???5-8 对三个正弦信号x1(t)=cos2?t、x2(t)=cos6?t、x3(t)=cos10?t进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采

样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。 解：采样序列x(n)

?n?x1(n)??x1(t)?(t?nTs)??cos?2?nTs??(t?nTs)??cos??2n?0n?0n?0N?1N?1N?1n??(t?) ?4?采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，??

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