取整数，参考数据：2＝1.41，3?1.73)．
GADADDAFBECBEFFCBEC
参考答案
1.解：（1）因为A坐标为(1，3)，所以OA?2，?AOB?60° 因为OM?2?4t，ON?6?4t． 当
2?4t6?4t?时，解之得t?0， 26即在甲、乙两人到达O点前，只有当t?0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；
2163?，乙到达O点的时间为t??， 424213所以甲先到达O点，所以t?或t?时，O、M、N三点不能连接成三角形，
22112?4t6?4t?①当t?时，如果△OMN∽△OBA，则有，解之得t?2?.
2262（2）因为甲到达O点时间为t?所以△OMN不可能相似于△OBA；
13?t?时，?MON??OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA； 22334t?24t?6?③当t?时，，解得t?2?．
2262②当
所以当t?2时，△OMN∽△OBA； （3）①当t≤1时，如图1，过点M作MH?x轴，垂足为H， 2在Rt△MOH中，因为?AOB?60°， 所以MH?OMsin60°?(2?4t)?3?3(1?2t)， 2 OH?OcMos°6?01?(2t?4)?，? t122所以NH?(6?4t)?(1?2t)?5?2t，
所以s??3(1?2t)??(5?2t)2?16t2?32t?28．
??2
②当
13?x≤时，如图2，作MH?x轴，垂足为H， 22在Rt△MNH中，MH?NH?3(4t?2)?3(2t?1)， 21(4t?2)?(6?4t)?5?2t 22所以s??3(1?2t)??(5?2t)2?16t2?32t?28．
??23③当t?时，同理可得s??3(1?2t)??(5?2t)2?16t2?32t?28，
??2综上所述，s?16t2?32t?28． 因为s?16t2?32t?28?16(t?1)2?12，
所以当t?1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离的最小值为23km．12分
2.（1）在Rt△ABO中，点A?3,0，点B?0,1?，点O?0,0?.∴OA?3,OB?1.由OM?m?得AM?OA?OM?3?m.根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，有
BM?AM?3?.m在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2?OB2?OM2得
?3?m?1?m2，解得m??2?3?3,0?.∴点M的坐标为?. ??33??（2）在Rt△ABO中，tan?OAB?OB3，∴?OAB?30?.由MN?AB得?MNA?90?，?OA33?m2?∴在Rt△AMN中，得MN?AMsin?OAB?AN?AMcos?OAB?3?，
?3?m8?3?m2?，∴SAMN31?MNAN?2?.
由折叠可知△A/MN≌△AMN，有?A???OAB?30?.∴?A?MO??A???OAB?60?. 在Rt△COM中，得CO?OMtan?A?MO?3m.∴S13于是，S?S?OAOB?22132?OMOC?m.又22COMSABOABO?SAMN?SCOM33??28?3?m??232m 2即S??5323m3?3?m??0?m?. ????848?3??23?333//,0（3）?（由（1）得点A与点B重合时，易求S=由于，所以点A???3?6246??1323应在AB上，此时S=?,点M为（1）小题中AM的中点，此时的坐标为（，0））
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3.(1)EF＝BE＋FD；(2)∠EAF＝
1∠BAD；(3)109 2【解析】(1)将△ABE绕点A顺时针方向旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AC，BE＝DG， 在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°，
∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上， 在△EAF和△GAF中
?AG?AE???EAF??GAF?45?，∴△EAF≌△GAF， ?AF?AF?∴EF＝GF，又GF＝DG＋DF＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD．
(2)∠EAF＝
1∠BAD，理由如下： 2将△ABE绕点A逆时针方向旋转∠DAB至△ADG，使AB与AD重合， ∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AC，BE＝DG， 在四边形ABCD中，∠B＋∠ADF＝180°，
∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上， 在△EAF和△GAF中
?AG?AE?1???EAF??GAF??BAD，∴△EAF≌△GAF，
2???AF?AF∴EF＝GF，又GF＝DG＋DF＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD．
(3)连接AF，延长BA、CD交于点O，
Rt△AOD中，∠ODA＝60°，∠OAD＝30°，AD＝80， ∴AO＝403，OD＝40，
∵OF＝OD＋DF＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO＝OF，∴∠OAF＝45°，
∴∠DAF＝45°－30°＝15°，∴∠EAF＝90°－15°＝75°， ∴∠EAF＝
1∠BAD． 2由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40(3＋1)≈109．