平面向量知识点整理

1、概念

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a??b?b??a?a?b?0 向量表示：几何表示法AB；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

（ |a|?x2?y2,a?|a|2?x2?y2。） 零向量：长度为0的向量。a＝O?｜a｜＝O.

【例题】1.下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则（5）若a?b,b?c，则a?c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______ AB?DC。

2.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|＝_____ 2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点． ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．

⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．

⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；②结合律：a?b?c?a?b?c；

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2???? ③a?0?0?a?a．

⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． 3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． C a ?

b

?

a?b??C?????C⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?． 【例题】

（1）①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____； ③(AB?CD)?(AC?BD)?_____

（2）若正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝_____ 4、向量数乘运算：

⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a． ①?a??a；

②当??0时，?a的方向与a的方向相同；

当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0．

⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③??a?b???a??b． ⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．

【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且???MP??1???3MN，则点P的坐标为_______

5、向量共线定理：向量a?a?0?与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．设a??x1,y1?，b??x2,y2?，

（b?0）?(a?b)2?(|a||b|)2。 【例题】 (1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同

（2）已知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______ 6、向量垂直：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0.

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【例题】(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，则m?

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B?90?，则点B的坐标

是______

（3）已知n?(a,b),向量n?m，且n?m，则m的坐标是________ 7、平面向量的数量积：

⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，a?b?ab；当

a与b反向时，a?b??ab；a?a?a2?a或a?a?a．③a?b?ab．

2??⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c． ⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2． 若a??x,y?，则a?x2?y2，或a?x2?y2．

设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 则a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2＝ x2y1.

2??????设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，?是a与b的夹角，则

cos??a?bab?x1x2?y1y2x?y2121x?y2222；（注|a?b|?|a||b|）

??????【例题】（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________

（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为（3）已知a?2,b?5,ab??3，则a?b等于____

（4）已知a,b是两个非零向量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____

?????1212?，则k等于____ 4（5）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______ （6）已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝

???，求向量a、c的夹角； 38、b在a上的投影：即|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0。

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