第一章 推理与证明

课题：合情推理（一）——归纳推理

课时安排：一课时 课型：新授课 教学目标：

1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程： 一、课堂引入：

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：

1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、 三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540? 由此我们猜想：凸边形的内角和是(n?2)?180? 3、

22?122?222?1?,?,?,33?133?233?3，由此我们猜想：

aa?m?（a,b,m均为正实数） bb?m这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：

⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 实验，观察 概括，推广 猜测一般性结论

三、例题讲解：

例1已知数列?an?的通项公式an?1(n?N?)，f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，试通过计算2(n?1)f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的值。

【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下） （1）f(1)?1?a1?1?

13? 4413824f(2)?(1?a1)(1?a2)?f(1)?(1?)????)

9493612155f(3)?(1?a1)(1?a2)(1?a3)?f(2)?(1?)???

163168由此猜想，f(n)?n?2

2(n?1)学生讨论：1）哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。 2）三根针上有若干个金属片的问题。 四、巩固练习：

11135f(n?)?1??????n?N(?，经)计算: f(2)?,f(4)?2,f(8)?,

23n227f(16)?3,f(32)?，推测当n?2时，有__________________________.

2332222222、已知：sin30?sin90?sin150?，sin5?sin65?sin125?。

221、已知

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。 3、观察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1

（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1。

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

注：归纳推理的几个特点：

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.

归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 五、教学小结：

1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。

课题：类比推理 ●教学目标：

（一）知识与能力：

通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问 题的发现中去。

（二）过程与方法：

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 （三）情感态度与价值观：

1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。 ●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 ●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：与教材内容相关的资料。●课时安排：1课时 ●教学过程： 一．问题情境

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：

茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？ 二．数学活动

我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;

(3) a=b?a2=b2;等等。 (3) a＞b?a2＞b2;等等。 问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球的性质 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离的两弦不等，距圆心较近的弦较长 不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切线的直线必经过切点 直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 ☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：

⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即

观察、比较 联想、类推 ???1猜想新结论 例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为

papbpcpa,pb,pc,我们可以得到结论:

hahbhc