中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究 下载本文

类型⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究

,备考攻略)

在平行四边形有关存在性问题中,常会遇到这样两类探究性的问题:

1.已知三点的位置,在二次函数上或在坐标平面内找一动点,使这四点构成平行四边形(简称“三定一动”).

2.已知两个点的位置,在二次函数上或在坐标平面内找两个动点,使这四点构成平行四边形(简称“两定两动”).

平行四边形的这四个点有可能是定序的,也有可能没有定序.

1.确定动点位置时出现遗漏.

2.在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解.

1.分清题型(属于三定一动还是两定两动,因为这两种题型的分类标准有所不同). 2.分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置). 3.利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧).

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”.

1.如果为“三定一动”,要找出平行四边形第四个顶点,则符合条件的有3个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形,过每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生所要求的3个点.

2.如果为“两定两动”,要找出平行四边形第三、四个顶点,将两个定点连成定线段,将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论.

1.若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示,则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征:即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解.

2.若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示,则利用列方程组解图形交点的方法解决.

3.灵活运用平行四边形的中心对称的性质,也可使问题变得简单.

4.平移坐标法.先由题目条件探索三点的坐标(若只有两个定点,可设一个动点的坐标). 再画出以三点为顶点的平行四边形,根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标.最后根据题目的要求(动点在什么曲线上),判断平行四边形的存在性.

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1.矩形:增加对角线相等和邻边垂直的性质,还可以转化为直角三角形的存在性问题. 2.菱形:增加四边相等和对角线垂直的性质,还可以转化为直角三角形或等腰(等边)三角形存在性问题.

3.正方形:兼顾以上性质,还可以转化为等腰直角三角形存在性问题.

◆平移坐标法

,典题精讲)

【例1】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P,如果以点P,A,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标.

【解析】 P,A,C三点是确定的,过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个符合条件的点D(如图).

由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得A(-3,0),C(0,3),P(-1,4). 由于A(-3,0)=====C(0,3),所以P(-1,4)=====D1(2,7). 由于C(0,3)=====A(-3,0),所以P(-1,4)=====D2(-4,1). 由于P(-1,4)=====C(0,3),所以A(-3,0)=====D3(-2,-1). 我们看到,用坐标平移的方法,远比用解析式构造方程组求交点方便多了. 【答案】点D的坐标为(2,7)或(-4,1)或(-2,-1).

◆两定两动的分类讨论(对点法的应用)

【例2】如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与

右1,下1

右1,下1

下3,左3

下3,左3

右3,上3

右3,上3

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抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.

(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数解析式;(其中k,b用含a的式子表示) 5

(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;

4(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

图① 备用图

【解析】1.过点E作x轴的垂线交AD于F,那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形. 2.以AD为分类标准讨论矩形,当AD为边时,AD与QP平行且相等,对角线AP=QD;当AD为对角线时,AD与PQ互相平分且相等.

【答案】解:(1)由y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得A(-1,0). 由CD=4AC,得xD=4.所以D(4,5a).

由A(-1,0),D(4,5a),得直线l的函数解析式为y=ax+a; (2)如图②,过点E作x轴的垂线交AD于F.

设E(x,ax2-2ax-3a),F(x,ax+a),那么EF=yE-yF=ax2-3ax-4a.

1111

由S△ACE=S△AEF-S△CEF=EF(xE-xA)-EF(xE-xC)=EF(xC-xA)=(ax2-3ax-4a)

22221?3?225

=a?x-2?-a, 28

得△ACE面积的最大值为-

252552

a.解方程-a=,得a=-; 8845

(3)已知A(-1,0),D(4,5a),xP=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:

①如图③,如果AD为矩形的边,那么AD∥QP,AD=QP,对角线AP=QD. 由xD-xA=xP-xQ,得xQ=-4.

当x=-4时,y=a(x+1)(x-3)=21a.所以Q(-4,21a). 由yD-yA=yP-yQ,得yP=26a.所以P(1,26a). 由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2. 整理,得7a2=1.所以a=-

7267?.此时P?1,-; 77??

②如图④,如果AD为矩形的对角线,那么AD与PQ互相平分且相等.

由xD+xA=xP+xQ,得xQ=2.所以Q(2,-3a).

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