类型⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究

,备考攻略)

在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：

1．已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(简称“三定一动”)．

2．已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形(简称“两定两动”)．

平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序．

1．确定动点位置时出现遗漏．

2．在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解．

1．分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同)． 2．分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置)． 3．利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)．

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”．

1．如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点．

2．如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论．

1．若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解．

2．若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决．

3．灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单．

4．平移坐标法．先由题目条件探索三点的坐标(若只有两个定点，可设一个动点的坐标). 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求(动点在什么曲线上)，判断平行四边形的存在性．

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1．矩形：增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题． 2．菱形：增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰(等边)三角形存在性问题．

3．正方形：兼顾以上性质，还可以转化为等腰直角三角形存在性问题．

◆平移坐标法

,典题精讲)

【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．

【解析】 P，A，C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D(如图)．

由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3，0)，C(0，3)，P(－1，4)． 由于A(－3，0)=====C(0，3)，所以P(－1，4)=====D1(2，7)． 由于C(0，3)=====A(－3，0)，所以P(－1，4)=====D2(－4，1)． 由于P(－1，4)=====C(0，3)，所以A(－3，0)=====D3(－2，－1)． 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了． 【答案】点D的坐标为(2，7)或(－4，1)或(－2，－1)．

◆两定两动的分类讨论(对点法的应用)

【例2】如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与

右1，下1

右1，下1

下3，左3

下3，左3

右3，上3

右3，上3

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抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.

(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数解析式；(其中k，b用含a的式子表示) 5

(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

4(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图① 备用图

【解析】1.过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形． 2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．

【答案】解：(1)由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)． 由CD＝4AC，得xD＝4.所以D(4，5a)．

由A(－1，0)，D(4，5a)，得直线l的函数解析式为y＝ax＋a； (2)如图②，过点E作x轴的垂线交AD于F.

设E(x，ax2－2ax－3a)，F(x，ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a.

1111

由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝EF(xE－xA)－EF(xE－xC)＝EF(xC－xA)＝(ax2－3ax－4a)

22221?3?225

＝a?x－2?－a， 28

得△ACE面积的最大值为－

252552

a.解方程－a＝，得a＝－； 8845

(3)已知A(－1，0)，D(4，5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：

①如图③，如果AD为矩形的边，那么AD∥QP，AD＝QP，对角线AP＝QD. 由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4.

当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a.所以Q(－4，21a)． 由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a.所以P(1，26a)． 由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2. 整理，得7a2＝1.所以a＝－

7267?.此时P?1，－； 77??

②如图④，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．

由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2.所以Q(2，－3a)．

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