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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）参考解答

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

（1）D （5）A

（2）C （6）D

（3）B （7）C

（4）B （8）D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.

（9）13 （12）三.解答题

（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式

等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

（10）??1,（13）

??2?? 3?

（11）x+2 y?2=0 （14）?1

? 4

9 2

{A, B},{A, C},{A, D},{A, E},{A, F},{B, C},{B, D},{B, E},{B, F},{C, D},{C,E},{C,F}, {D,E},{D,F},{E,F}，共15种.

（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为

{A, B},{A, D},{A, E},{A, F},{B, D},{B, E},{B, F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F}，共11种.

所以，事件M发生的概率P(M)?11. 15（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正

弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分.

bc，得bsinC?csinB，又由3csinB?4asinC，?sinBsinC42得3bsinC?4asinC，即3b?4a.又因为b?c?2a，得到b?a，c?a.由余弦定理可得

33（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理

421622a?a?aa2?c2?b2199cosB????.

22ac42?a?a3（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sinB?1?cosB?21515，从而sin2B?2sinBcosB??，487cos2B?cos2B?sin2B??，故

8????1537135?7?. sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin???????6?66828216?（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础

知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分13分.

（Ⅰ）证明：连接BD，易知ACBD?H，BH?DH.又由BG=PG，故GH∥P D.又因为GH?平面PAD，PD?平面PAD，所以GH∥平面PAD.

（Ⅱ）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC?平面PCD，平面

PAC 平面PCD?PC，所以DN?平面PAC，又PA?平面PAC，故DN?PACDDN?D，所以PA?平面PCD.

.又已知PA?CD，

（Ⅲ）解：连接AN，由（Ⅱ）中DN?平面PAC，可知?DAN为直线AD与平面PAC所成的角， 因为△PCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN?3.又DN?AN， 在Rt△AND中，sin?DAN?DN3. ?AD33. 3所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为

（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基

本方法和运算求解能力.满分13分.

（Ⅰ）解：设等差数列?an?的公差为d，等比数列?bn?的公比为q.依题意，得??3q?3?2d,解得2?3q?15?4d,?d?3,n?1n故an?3?3(n?1)?3n,bn?3?3?3. ??q?3,n所以，?an?的通项公式为an?3n，?bn?的通项公式为bn?3.

（Ⅱ）解：a1c1?a2c2??a2nc2n

??a1?a3?a5??a2n?1???a2b1?a4b2?a6b3??a2nbn?

?6n?3n)

n(n?1)????n?3??6??(6?31?12?32?18?33?2???3n2?6?1?31?2?32?12记Tn?1?3?2?3?23则3Tn?1?3?2?3??n?3n?.

?n?3n,① ?n?3n?1,②

3nn?1②?①得，2Tn??3?3?3?2?3?n?3??3?1?3n?1?3?n?3n?1(2n?1)3n?1?3. ?2所以，a1c1?a2c2?(2n?1)3n?1?3?a2nc2n?3n?6Tn?3n?3?

222(2n?1)3n?2?6n2?9n?N??. ??2（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲

线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.

?3?22a?c（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有3a?2b，又由a2?b2?c2，消去b得a??，??2???解得

2c1?. a21. 2所以，椭圆的离心率为

x2y2（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，a?2c,b?3c，故椭圆方程为2?2?1.由题意，F(?c, 0)，则直线

4c3c?x2?3?4c2l的方程为y?(x?c)点P的坐标满足?4 ?y???解得x1?c,x2??y2?2?1,3c消去y并化简，得到7x2?6cx?13c2?0，3(x?c),413c39.代入到l的方程，解得y1?c,y2??c.因为点P在x轴上方，所以7214?3?P?c,c?.由圆心C在直线x?4上，可设C(4, t).因为OC∥AP，且由（Ⅰ）知A(?2 c, 0)，故?2?3ct?2，解得t?2.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C与l相切，得4c?2c3(4?c)?24?3?1????4?2?2，可得c=2.

x2y2??1. 所以，椭圆的方程为

1612（20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思

想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由已知，f(x)的定义域为(0,??)，且

11?ax2exxx. f?(x)???ae?a(x?1)e????xx因此当a≤0时，1?ax2ex?0，从而f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)内单调递增.

11?ax2ex.令g(x)?1?ax2ex，由0?a?， （Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知f?(x)?ex可知g(x)在(0,??)内单调递减，又g(1)?1?ae?0，且

?1??1?1?1?g?ln??1?a?ln??1??ln??0. ?a??a?a?a?故g(x)?0在(0,??)内有唯一解，从而f?(x)?0在(0,??)内有唯一解，不妨设为x0，则1?x0?ln221.a当x??0,x0?时，f?(x)?g(x)g?x0???0，所以f(x)在?0,x0?内单调递增；当x??x0,???时，xxf?(x)?g(x)g?x0???0，所以f(x)在?x0,???内单调递减，因此x0是f(x)的唯一极值点.

xx1?1?0，故h(x)在(1,??)内单调递减，从而当x?1x令h(x)?lnx?x?1，则当x?1时，h'(x)?时，h(x)?h(1)?0，所以lnx?x?1.从而

1111?1??1?lna?1?f?ln??lnln?a?ln?1?e?lnln?ln?1?h?ln??0，

aaa?a??a??a?又因为f?x0??f(1)?0，所以f(x)在(x0,??)内有唯零点.又f(x)在?0,x0?内有唯一零点1，从而，

f(x)在(0,??)内恰有两个零点.

2x2?x1?1x1?x0x0lnx1?f??x0??0,??ax0e0?1,x1?x0lnx?ee?.因为（ii）由题意，?即?从而，即12x1xfx?0,lnx?ax?1e,??x?1?1?0??11??1x?x当x?1时，lnx?x?1，又x1?x0?1，故e102x0x1?1??x?x22??x0，两边取对数，得lne10?lnx0，

x1?1于是

x1?x0?2lnx0?2?x0?1?，

整理得3 x0?x1?2.