备战2019年高考数学一轮复习（热点难点）专题79 极坐标与参数方程

考纲要求:

极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题 基础知识回顾: （一）极坐标：

1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对??,??确定平面上点的位置，其中?代表该点到极点的距离，而?表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：??0,???0,2??

3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴重合，则

?x??cos??同一个点可具备极坐标??,??和直角坐标?x,y?，那么两种坐标间的转化公式为：?y??sin?，由点组成的

??2?x2?y2?直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程?cos???sin??1?x?y?1（在转化成x,y时要设法构造?cos?,?sin? ，然后进行整体代换即可） （二）参数方程：

???x?f?t??x?f?t?1、如果曲线F?x,y??0中的变量x,y均可以写成关于参数t的函数?，那么?就称为该曲线???y?g?t??y?g?t?的参数方程，其中t称为参数

2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：??x?t?3?y?2?3?x?3?

?y?2?3t1?x?t?2?1?t?1?2（2）整体消参：?，由?t???t2?2?2可得：x?y?2

t?t??y?t2?1?t2?（3）平方消参：利用sin??cos??1消去参数 3、常见图形的参数方程：

22（1）圆：?x?a???y?b??r的参数方程为：?222?x?a?rcos?，???0,2??，其中?为参数，其几何含义

?y?b?rsin?为该圆的圆心角

?x?acos?x2y2（2）椭圆：2?2?1?a?b?0?的参数方程为?，???0,2??，其中?为参数，其几何含义为椭

aby?bsin??圆的离心角

1?x2y2?x?a（3）双曲线：2?2?1?a?b?0?的参数方程为?cos?，???0,2??，其中?为参数，其几何含义为

ab??y?btan?双曲线的离心角

?x?2pt2（4）抛物线：y?2px?p?0?的参数方程为?，其中t为参数

?y?2pt2（5）直线：过M?a,b?，倾斜角为?的直线参数方程为??x?a?tcos?，t?R，其中t代表该点与M的距离

y?b?tsin??注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解 应用举例:

例1．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知在平面直角坐标系xoy中， O为坐标原点，曲线C：

{x?3cos??sin?y?3sin??cos?，在以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，有相同单位长 （?为参数）

度的极坐标系中，直线l： ?sin?????????1. 6?(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (Ⅱ)求与直线l平行且与曲线C相切的直线的直角坐标方程。

(Ⅱ)设所求直线方程为： x?3y?m?0 由圆心C到直线l的距离即可求出m 试题解析：(Ⅰ)曲线C： {x?3cos??sin?y?3sin??cos? ，

平方可得： {x2?3cos2??23cos?sin??sin2?y?3sin??23cos?sin??cos?2

2

222 ：

曲线C的普通方程：x＋y＝4. 直线l： ?sin???????x??cos?31?sin???cos??1， ，由{ ?1?y??sin?226?得直线l的直角坐标方程： x＋3y－2＝0. (Ⅱ)所求直线方程为： x?3y?m?0

∵圆心(0,0)半径为2，圆心C到直线l的距离d?m2?2，

?m??4

所以所求直线方程为： x?3y?4?0

例2.【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考】

x?t(t 为参数)．以原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C的已知直线l的参数方程为{y?a?t极坐标方程为??4cos?.

（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；

（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3:1，求实数a的值． 【答案】(Ⅰ) x?y?a?0；(Ⅱ) a?0或a?4.

试题解析：

（Ⅰ）由题意知： ??4cos????4?cos??x?4x?y?0，

222