专题检测（十二） 三角恒等变换与解三角形
A卷——夯基保分专练
一、选择题
π???π?2
1．(2018届高三·合肥调研)已知x∈(0，π)，且cos?2x－?＝sinx，则tan?x－?2?4???等于( )
1
A. 3C．3
1B．－
3
D．－3
π??22
解析：选A 由cos?2x－?＝sinx得sin 2x＝sinx，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，
2??
?π?tan x－1＝1. ∴tan?x－?＝4?1＋tan x3?
2．(2017·张掖一诊)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin
12
B－asin A＝asin C，则sin B为( )
A.7 47 3
3B. 41D. 3
C.
1
解析：选A 由bsin B－asin A＝asin C，且c＝2a，
2
a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23
得b＝2a，∵cos B＝＝＝， 2
2ac4a4
∴sin B＝
7?3?2
1－??＝. ?4?4
2
142cosθ－1?π?3．已知θ∈?0，?，且sin θ－cos θ＝－，则的值为( )
4?4π???cos?＋θ?
?4?2
A. 33C. 4
4B. 33D. 2
14， 4
解析：选D 法一：由sin θ－cos θ＝－得sin?
?π－θ?＝7.
?4
?4?
π?π??π?因为θ∈?0，?，所以－θ∈?0，?，
4?4?4??
?π?3
所以cos?－θ?＝，
?4?4
?π?sin?－2θ?2cosθ－1cos 2θ?2?故＝＝
πππ??????cos?＋θ?sin?－θ?sin?－θ??4??4??4?
2
??π－θ??
??π??4????3
＝＝2cos?－θ?＝. ?4?2?π?sin?－θ?
?4?
sin?2?
法二：因为sin θ－cos θ＝－
14
， 4
1
两边平方，整理得2sin θcos θ＝，
892
所以(sin θ＋cos θ)＝1＋2sin θcos θ＝.
8
?π?因为θ∈?0，?，所以sin θ>0，cos θ>0，
4??
32
所以sin θ＋cos θ＝.
4
2cosθ－1cosθ－sinθ所以＝2?π?cos?＋θ?θ－sin θ?4?23
＝2(cos θ＋sin θ)＝.
2
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin
2
2
2
C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )
A.C.π
12π 4
B.D.π 6π 3
解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝
3π， 4
2×222
由正弦定理得sin C＝
c·sin A＝a1＝， 2
ππ
又0＜C＜，所以C＝.
46
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 解析：选A 根据正弦定理得＝即sin C ∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B) π 又三角形中sin A>0，∴cos B<0， 2∴△ABC为钝角三角形． π 6．如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB， 3 B．直角三角形 D．等边三角形 cbcsin C bsin BDE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A等于( ) A.22 36 4 B.2 46 3＝C.D. 解析：选C 依题意得，BD＝AD＝ 22 ，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCDsin Asin ADEBCBD422242442 中，＝，＝×＝，即＝，由此sin∠BDCsin Csin 2Asin A2sin Acos A33sin A3sin A解得cos A＝ 6 . 4 二、填空题 ?π?1?π?7．(2017·洛阳统考)若sin?－α?＝，则cos?＋2α?＝________. ?3?4?3? 解析：依题意得cos? ?π＋2α?＝－cos?π－?π＋2α??＝－cos?2?π－α??＝ ???3????3?? ?3????????? 7??1?22?π 2sin?－α?－1＝2×??－1＝－. 8?3??4? 7 答案：－ 8 8．已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为________． 解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC＝AC＋AB－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB28＋36－162－4AB，解得AB＝6，则cos∠ABC＝＝， 2×27×67 所以BD＝AB·cos∠ABC＝6× 2 12＝， 77 2 2 2 2 BDCDCD＝BC－BD＝27－答案：6 127 ＝27 ，所以＝6. BDCD9．(2017·福州质检)在距离塔底分别为80 m,160 m，240 m 的同一水平面上的A，B， C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 解析：设塔高为h m．依题意得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝.因为α＋ 80160240β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝ ＋ 80160 －γ－γ γγ hhhhhcos γsin γtan α＋tan βh＝＝1，所以·tan γ＝1，所以·＝1，解得sin γcos γ1－tan αtan βhh240 1－·80160 h＝80，所以塔高为80 m. 答案：80 三、解答题 10．(2017·郑州第二次质量预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 B＝2C,2b＝3c. (1)求cos C； (2)若c＝4，求△ABC的面积． 解：(1)由正弦定理得，2sin B＝3sin C. ∵B＝2C，∴2sin 2C＝3sin C，∴4sin Ccos C＝3sin C， 3 ∵C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos C＝. 4(2)由题意得，c＝4，b＝6. ∵C∈(0，π)，∴sin C＝1－cosC＝37 sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝， 8122 cos B＝cos 2C＝cosC－sinC＝， 8 2 7， 4 37317 ∴sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝ 848457 . 16 1157157 ∴S△ABC＝bcsin A＝×6×4×＝. 22164 11．(2017·东北四市高考模拟)已知点P(3，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，―→―→ 函数f(x)＝OP·QP. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值． ―→―→ 解：(1)由已知，得OP＝(3，1)，QP＝(3－cos x,1－sin x)， ?π?所以f(x)＝3－3cos x＋1－sin x＝4－2sin?x＋?， 3?? 所以函数f(x)的最小正周期为2π. ?π?(2)因为f(A)＝4，所以sin?A＋?＝0， 3?? ππ4π2π 又0 3333 因为BC＝3，所以由正弦定理，得AC＝23sin B，AB＝23sin C， ?π?所以△ABC的周长为3＋23sin B＋23sin C＝3＋23sin B＋23sin?－B?＝3＋ ?3??π?23sin?B＋?. 3?? πππ2π 因为0 3333 πππ 所以当B＋＝，即B＝时，△ABC的周长取得最大值，为3＋23. 32612．如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点， B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止 目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度