知识点一：定积分的概念

如果函数区间

在区间

上连续，用分点

上任取一点

将

（i=1,2,3?,n），作和式

分为n个小区间，在每个小区间

，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫

做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，

叫做被积函数，

与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分变量， 说明：

叫做被积式.

叫做积分区间，函数

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

知识点二：定积分的几何意义

设函数 在线

在区间上，当与

上连续.

时，定积分在几何上表示由曲线以及直

轴围成的曲边梯形的面积；

在边梯形位于

上，当

轴下方，定积分

时，由曲线

以及直线

与

轴围成的曲

在几何上表示曲边梯形面积的相反数；

在

上，当

既取正值又取负值时，曲线

的某些部分在

轴的上方，

而其他部分在轴下方，如果我们将在形的面积赋予负号；

轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图

在一般情形下，定积分的几何意义是曲线与轴所围成的各部分面积的代数和.

，两条直线

知识点三：定积分的性质

（1） （2） （3）

（

为常数），

，

（其中

），

（4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数 若函数

在区间在区间

上是奇函数，则上是偶函数，则

；

.

知识点四：微积分基本定理

微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）: 如果其中

在叫做

上连续，且的一个原函数.

，则

。

注意：

①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函

数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算. ②由于

也是

，

轴（即直线

）及一条曲

的原函数，其中c为常数.

知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积

1. 如图，由三条直线线 (

)围成的曲边梯形的面积：

，

2．如图，由三条直线线 (

)围成的曲边梯形的面积：

，

，

轴（即直线

）及一条曲

3．由三条直线上

，

上

）围成的图形的面积：

轴及一条曲线

（不妨设在区间

在区间

4. 如图，由曲线成图形的面积：

＝＋

及直线

.

，

围

知识点六：定积分在物理中的应用

①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程区间

上的定

.

，等于其速度函数在时间

积分，即 ②变力作功 物体在变力移动到

的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从

，那么变力所作的功.

规律方法指导

1．如何正确理解定积分的概念 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即不变性），另外定积分

（称为积分形式的

与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的

与

的几何意义

的值就不同。

积分上下限不同，所得的值也就不同，例如 2．

由于被积函数

、

与

在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图像可以在x轴上方，也

可以x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，所以直线线

（a≠b）与

表示由x轴，曲线及

轴所围成的各部分面积的代数和；而

表示在区间[a，b]上所有以，两条直线

与

是非负的，曲

为曲边的

在x轴上方，所以

正曲边梯形的面积，等于曲线轴所围成的各部分面

积的绝对值的和；而是的绝对值，三者的值在一般情况下是不相同的。

3．利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）借助图形确定出被积函数； （4）写出平面图形的定积分表达式； （5）运用公式求出平面图形的面积.

类型一：利用定积分的几何定义求定积分

1．说明定积分

所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。

解析：设，则，表示半径为2的个圆，

由定积分的概念可知，表示如图所示的以2为半径的圆的面积,

所以

总结升华：利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。 举一反三：

【变式1】由____________；

，，以及轴围成的图形的面积写成定积分是

【答案】

【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）

（1） （2）

【答案】（1），（2）