【习题集】高中数学题库高考专点专练之6有限集与无限集

一、选择题（共1小题；共5分）

1. 各项互不相等的有限正项数列 ???? ，集合 ??= ??1,??2,?,???? ，集合 ??= ????,???? ????∈??,????∈??,?????????∈??,1≤??,??≤?? ，则集合 ?? 中的元素至多有 ?? 个

A. C.

?? ???1 22

B. 2???1?1 D. ???1

??+2 ???1

二、填空题（共1小题；共5分）

2. 已知集合 ??= ?? ????+?????+2=0 是一个无限集，则实数 ??= ，??= ．

三、解答题（共2小题；共26分）

3. 指出下列集合哪些是无限集，哪些是有限集，哪些是空集： （1）直角坐标系内纵坐标与横坐标相等的点构成的集合； （2）周长为 12 cm 的等边三角形构成的集合； （3）大于 1 且小于 0 的实数构成的集合；

（4）小于 20 的奇素数构成的集合．

4. 判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示： （1）被 3 除余 1 的自然数组成的集合；

（2）由所有小于 20 的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （3）二次函数 ??=??2+2???10 图象上的所有点组成的集合； （4）设 ??，?? 是非零实数，求 ??= ?? + ?? + ???? 的所有值组成的集合．

??

??

????

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答案

第一部分 1. A

第二部分 2. 1，?2

【解析】将集合中的元素满足的关系式整理成一元一次方程的形式．故当且仅当 ???1=0，??+2=0，即 ??=1，??=?2 时，集合为无限集． 第三部分

3. （1） 直角坐标系内纵坐标与横坐标相等的点，即直线 ??=?? 上所有点，有无数多个，因此集合是无限集．

（2） 依据三角形知识可知，周长为 12 cm 的等边三角形只有一个，因此是有限集． （3） 如图所示，

用数轴表示实数可知，大于 1 且小于 0 的实数不存在，因此集合是空集． （4） 小于 20 的奇素数有有限个，因此集合是有限集．

4. （1） 由于被 3 除余 1 的自然数有无数个，所以此集合是无限集，适合用描述法表示．又这些自然数常表示为 3??+1 ??∈?? ．所以可表示为 ?? ??=3??+1,??∈?? ．

（2） 由题意，得满足条件的正整数有 3，5，7，11，13，17，19，则此集合中的元素有 7 个，所以此集合是有限集，用列举法表示为 3,5,7,11,13,17,19 ．

（3） 由于二次函数 ??=??2+2???10 图象上的点有无数个，所以此集合是无限集，适合用描述法表示．通常用有序数对 ??,?? 表示点，那么满足条件的点组成的集合可表示为 ??,?? ??=??2+2???10 ．

（4） 当 ????<0 时，??= ?? + ?? + ???? =?1． 当 ????>0 时，则 ??>0，??>0 或 ??<0，??<0． 若 ??>0，??>0，则有 ??= ?? + ?? + ???? =3； 若 ??<0，??<0，则有 ??= ?? + ?? + ???? =?1．

∴??= ?? + ?? + ???? 的所有值组成的集合共有两个元素 ?1 和 3，此集合是有限集，则用列举法表示为 ?1,3 ．

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