高中数学必修5 第一章 解三角形复习

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理:

abc???2R (R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinCabc2.正弦定理的一些变式：

?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?2R,sinB?2R,sinC?2R；

?iii?a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC；（iv）sinA?sinB?sinC3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

a?b?c?2R

【余弦定理】

?b2?c2?a2?cosA?2222bc?a?b?c?2bccosA??2a2?c2?b2?221．余弦定理： ?b?a?c?2accosB 2.推论： ?cosB?.

2ac??c2?b2?a2?2bacosC??b2?a2?c2?cosC?2ab?3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

abc2

1.S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)= =2RsinAsinBsinC（其中r为三角形内切圆半径）

2224R2.设p?1(a?b?c),S?2p(p?a)(p?b)(p?c)(海伦公式)

【三角形中的常见结论】

（1）A?B?C??(2) sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

sinA?BCA?BC?cos,cos?sin; 2222（3）若A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC

若sinA?sinB?sinC?a?b?c?A?B?C（大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(5) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 （6）???C中，A,B,C成等差数列的充要条件是B?60.

(7) ???C为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列. 二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统

1

?

一成边的形式或角的形式.

a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形（2）在?ABC中，由余弦定理可知:a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形

a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形（注意：A是锐角??ABC是锐角三角形）

(3) 若sin2A?sin2B，则A=B或A?B??2.

例1.在?ABC中，c?2bcosA，且(a?b?c)(a?b?c)?3ab，试判断?ABC形状.

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 例2.在?ABC中，a?1，b?

例3.在?ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c?2，C?3，?A?300，求的值

?3．

（Ⅰ）若?ABC的面积等于3，求a,b；

(B?A)?2sin2A，求?ABC的面积． （Ⅱ）若sinC?sin

题型3【证明等式成立】

证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.

例4.已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：a?bcosC?ccosB.

2

题型4【解三角形在实际中的应用】

实际问题中的有关概念：

仰角 俯角 方位角 方向角 (1)仰角和俯角：

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．

(2)方位角：

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)

①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．

②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类

似．

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

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