2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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A题 城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

题 目 A题 城市表层土壤重金属污染分析

摘 要：

本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。

在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目m,将全区划分成m个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，找到最近的道路节点，作为警车的初始位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆数，即为该区应该配置的最小警车数目，用MATLAB计算，得到局部最优解为13辆。

在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车走过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警车经过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。

问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态分为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理事故的点，最后汇总计算得相应的评价指标。

在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的，采用算法2进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到10辆或巡逻速度变大时，用算法2计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。

本文最后还考虑到4个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。

关键词：模拟退火算法；Floyd算法；离散化

参赛密码 参赛队号 11***02 （由组委会填写） 队员姓名 *佳 **梅 *巍 一 问题的重述

110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能

够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。

现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。

该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求：

D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在

两分钟之内。

D2. 使巡逻效果更显著；

D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。 现在我们需要解决以下几个问题：

一. 若要求满足D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？ 二. 请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。

三．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。

四. 在第三问的基础上，再考虑D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。 五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案，使D1、D2尽量得到满足？ 六. 若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，回答问题三。

七. 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。

二 问题分析

本题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。在进行警车配置时，首先要考虑警车在接警后在规定时间内赶到现场的比例，在此条件下，以车数最少为目标，建模、求解；在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果及隐蔽性问题。

问题一只要求满足D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在三分钟或两分钟内它能到达的区域就是它的覆盖范围。据此，在满足所有街道的覆盖率不低于90%的条件下，寻找最优解。

问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻的全面性，即经过一段时间后警车走过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的不均匀性，即经过一段时间后警车经过每一条街道的次数相差不大，用方差来衡量。

问题三是在满足D1的条件上尽量满足问题二所给的指标，并给出评价方案的指标。首先找到一组满足D1的各警车位置，然后在和各警车位置相连的点中随机寻找一个点，判断新的点是否满足D1，如果满足则警车行驶到该点，否则重新寻找，直到满足为止。一段时间后统计所有车走过的点数及每个点被走过的次数，用问题二给出的两个指标进行评价。综合两个指标，可判断此路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标达到一个满意的值为止。

问题四增加了隐蔽性要求，首先给出评价隐蔽性的指标，隐蔽性可用路线的随机性来评价，将它加入到问题三的模型中去进行求解。

问题五限制警车数量为10，要综合考虑D1、D2，先分配这10辆车使道路的覆盖率最高，然后按照问题三的步骤进行求解，其中每一步对D1的判断只需使道路的覆盖