第四节 基本不等式： ab≤

a＋b

(a，b∈R＋) 2

知识梳理

一、算术平均数与几何平均数的概念 若a>0，b>0，则a，b的算术平均数是

a＋b2

，几何平均数是ab.

二、常用的重要不等式和基本不等式

2

1．若a∈R，则a≥0，|a|≥0(当且仅当a＝0时，取等号)．

22

2．若a，b∈R，则a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)． 3．若a，b∈R＋，则a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)．

a2＋b2?a＋b?2

4．若a，b∈R＋，则≥??(当且仅当a＝b时取等号)．

2?2?

三、均值不等式(基本不等式)

a＋b两个正数的均值不等式：若a，b∈R＋，则≥ab(当且仅当a＝b时取等号)．

2

?a＋b?2(a，b∈R)．

变式： ab≤??＋

?2?

四、最值定理

设x>0，y>0，由x＋y≥2xy，有：

(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y最小值为2P；

(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy最大值为??.

?2?

即积定和最小，和定积最大．

运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商． ?S?2

基础自测

xy1．若x＋2y＝4，则2＋4的最小值是( )

A．4 B．8 C．22 D．42

xyx2yx＋2y4x2y解析：因为2＋4≥22·2＝22＝22＝8，当且仅当2＝2，即x＝2y＝2时

xy取等号，所以2＋4的最小值为8.

答案：B

2．下列结论中正确的是( )

1

A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2

lg x1

B．当x＞0时，x＋≥2

x1

C．当x≥2时，x＋的最小值为2

x1

D．当0＜x≤2时，x－无最大值

x答案：B

122

3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，则＋

a1

b的最小值是________． 答案：4

4．当x>2时，不等式x＋解析：因为x＋

1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是________． x－2

1

≥a恒成立， x－2

1

所以a必须小于或等于x＋的最小值．

x－2

因为x>2，所以x－2>0.

11

所以x＋＝(x－2)＋＋2≥4.

x－2x－2

所以a≤4.

答案：(－∞，4]

2

2

1．(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0，则当取得最大值时，212

＋－的最大值为( )

xyzxyz9

A．0 B．1 C. D．3

4

22

解析：由已知得z＝x－3xy＋4y(*) xyxy1则＝2≤1， 2＝zx－3xy＋4yx4y＋－3

yx当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y，

212111?1?2

所以＋－＝＋－2＝－?－1?＋1≤1.故选B.

2

xyzyyy?y?

答案：B

2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费

8

用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝

x

800＋×x×1

8800x＝＋≥2

xx8值．故选B.

答案：B

x800x800x×＝20，当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时，取最小x8x8

11

1．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是( )

abA．2 B．22 C．4 D．5

111解析：＋＋2ab≥2＋2ab≥4，当且仅当a＝b，ab＝1时，等号成立，即aabab＝b＝1时，表达式取最小值为4.故选C. 答案：C

19

2．(2013·东莞二模)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则2x＋3y的最小值为________．

xy?19?3y18x解析：由题意可得，2x＋3y＝(2x＋3y)·?＋?＝＋＋29≥2

xy?

?

xy＋66，

3yx18x·＋29＝29

y3y18x192＋36

当且仅当＝，结合＋＝1，解得x＝，y＝6＋9时取等号，故2x＋3yxyxy2的最小值为29＋66.

答案：29＋66

中国书法艺术说课教案

今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：

本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。早在5000年以前的甲骨