复习：

1.数值计算方法的含义 2．误差及误差限 3.误差与有效数字

4.数值计算中应注意的问题

第二章 插值方法

一．插值的含义 问题提出：

已知函数y?f?x?在n+1个点x0,x1,值f?x??。

说明：函数y?f?x?可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值f?x??。

解决方法：

构造一个简单函数P?x?来替代未知（或复杂）函数y?f?x?，则用P?x??作为函数值

,xn上的函数值y0,y1,,yn，求任意一点x?的函数

f?x??的近似值。

二、泰勒（Taylor）插值 1.问题提出：

已知复杂函数y?f?x?在x0点的函数值f?x0?，求x0附近另一点x0?h的函数值

f?x0?h?。

2.解决方法：

构造一个代数多项式函数Pn?x?，使得Pn?x?与f?x?在x?x0点充分逼近。 泰勒多项式为：

f???x0?2Pn?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0??2!f?n??x0?n??x?x0?

n!显然，Pn?x?与f?x?在x?x0点，具有相同的i阶导数值（i=0,1,…,n）。 3.几何意义为：

Pn?x?与f?x?都过点?x0,f?x0??；

Pn?x?与f?x?在点?x0,f?x0??处的切线重合； Pn?x?与f?x?在点?x0,f?x0??处具有相同的凹凸性；

其几何意义可以由下图描述，显然函数f3?x?能相对较好地在x0点逼近f?x?。

f3(x)f2(x)x04.误差分析（泰勒余项定理）：

f1(x)f(x)

f?????n?1Pn?x??f?x???x?x0?，其中?在x0与x之间。

?n?1?!n?15.举例：

已知函数f?x??x，求f?115?。

分析：本题理解为，已知“复杂”函数f?x??x在x0=100点的函数值为f?x0??10，求x0的附近一点x0+15的函数值f?x0?15?。

解：

?（1）构造1次泰勒多项式函数P1?x?：P1?x??f?x0??f?x0??x?x0?。

1?11其中f?x0??f?100??10，f??x??x2，f??x0??f??100??，则有：

220P1?x??5?0.05x

故有f?115??P1?115??10.75 误差分析：

f?????2P115?f115?115?100 ??????12!函数f???x?在[100,115]区间绝对值的极大值为f???100??2.5?10?4， 则有：

P1?115??f?115??0.028125?0.05 于是近似值10.75有三位有效数字。

几何意义：显然，P，且Px在点（100,10）1?x?也过点（100,10）1?x?就是函数f?x??处的切线，如下图所示。

（2）构造2次泰勒多项式函数P2?x?：

P2?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0?2?x?x0?。 2!把f?100??10，f??100??1及f???100??2.5?10?4代入，有 20f?115??P2?115??10.721875。 分析误差

f??????3P2?115??f?115???115?100?

3!函数f????x?在[100,115]区间绝对值的极大值为f????100??3.75?10?6，则有

P2?115??f?115??0.002109375<0.005 于是近似值10.721875有四位有效数字。 运行文件taylor.m：

%已知函数f(x)=x^(1/2)，求f(115) %一次泰勒插值 subplot(1,2,1); f=inline('x^(1/2)'); p1=inline('5+0.05*x'); fplot(f,[-50,300]); hold on

fplot(p1,[-50,300]); plot(115,10.75,'*')