难题突破专题一 规律归纳探索问题
近年来有关规律探索性题目在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，
也有利于学生思维能力的提高和自
主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等．
类型1 数字规律
1 2019·淮安 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
图Z1－1
则2019在第________行． 例题分层分析
(1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________； (2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2019在第_______行
解题方法点析
解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．
类型2 数式规律
2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个
三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)＝a＋2ab＋b展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)展开式中的系数等．
(1)根据上面的规律，写出(a＋b)的展开式；
(2)利用上面的规律计算：2－5×2＋10×2－10×2＋5×2－1.
5
4
3
2
5
2
2
2
3n
图Z1－2
例题分层分析
(1)你能写出(a＋b)，(a＋b)，(a＋b)，(a＋b)的展开式吗？
(2)2－5×2＋10×2－10×2＋5×2－1和(a＋b)，(a＋b)，(a＋b)，(a＋b)，(a＋b)中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？
解题方法点析
数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．
类型3 图形规律
3 [2019·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，
△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为__________．
5
4
3
2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
图Z1－3
例题分层分析
(1)首先求出B点坐标________，
(2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________；
(3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为3、1、1，又2019÷3＝672……1，故其运动路径长为________．
图Z1－4
4[ 2019·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为
5，那么第2个图形的周长为________，第2019个图形的周长为________．
图Z1－5
例题分层分析
(1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________；
(2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8. (3)第2019个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．
专 题 训 练
1．[2019·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( )
图Z1－6
A．180 B．182 C．184 D．186
2．[2019·重庆A] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )
图Z1－7
A．73 B．81 C．91 D．109
3．[2019·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为( )
图Z1－8
A．(－6，24) B．(－6，25) C．(－5，24) D．(－5，25)
4．[2019·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：
图Z1－9
则第⑦个图案有________个黑色棋子．
357911
5．[2019·郴州] 已知a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，a5＝－，…，则a8＝________．
251017266．[2019·潍坊] 如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．
图Z1－10
7．[2019·菏泽] 如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－落在直线y＝－
3
x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O23
3
x上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则O12的纵坐标为________． 3
图Z1－11
8．[2019·衡阳] 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2019的纵坐标是________．
图Z1－12
9．[2019·天门] 如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2019的坐标为________．
图Z1－13
10．[2019·内江] 观察下列等式：
211
第一个等式：a1＝－2； 2＝1＋3×2＋2×22＋12＋1211
第二个等式：a2＝－3； 222＝2
1＋3×2＋2×（2）2＋12＋1211
第三个等式：a3＝－4； 332＝3
1＋3×2＋2×（2）2＋12＋1211
第四个等式：a4＝－5. 442＝4
1＋3×2＋2×（2）2＋12＋1按上述规律，回答下列问题：
(1)请写出第六个等式：a6＝________＝________；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________； (3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)； (4)计算：a1＋a2＋…＋an.
参考答案
类型1 数字规律 例1 【例题分层分析】 (1)1 4 9 16 25
(2)n 1936 最大数为2025 45 [答案] 45 类型2 数式规律 例2 【例题分层分析】
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