17.解： ⑴ 2cosC?acosB?bcosA??c

由正弦定理得：2cosC?sinA?cosB?sinB?cosA??sinC

2cosC?sin?A?B??sinC

∵A?B?C?π，A、B、C??0，π? ∴sin?A?B??sinC?0 ∴2cosC?1，cosC?∵C??0，π?

1 2∴C?π 3⑵ 由余弦定理得：c2?a2?b2?2ab?cosC

17?a2?b2?2ab?

2?a?b?2?3ab?7

1333 S?ab?sinC?ab?242∴ab?6 ∴?a?b??18?7

2a?b?5

∴△ABC周长为a?b?c?5?7 18．解：(1) ∵ABEF为正方形 ∴AF?EF

∵?AFD?90? ∴AF?DF ∵DFEF=F

∴AF?面EFDC

AF?面ABEF

∴平面ABEF?平面EFDC ⑵ 由⑴知

?DFE??CEF?60?

∵AB∥EF

AB?平面EFDC EF?平面EFDC

∴AB∥平面ABCD

AB?平面ABCD

∵面ABCD面EFDC?CD ∴AB∥CD ∴CD∥EF

∴四边形EFDC为等腰梯形

以E为原点，如图建立坐标系，设FD?a

E?0，0，0??a3?，0，a?B?0，2a，0? C??2?2??A?2a，2a，?0

?a3?BC?，?2a，a?EB??0，2a，0?，??2?，AB???2a，0，0? 2??设面BEC法向量为m??x，y，z?.

?2a?y1?0??m?EB?0?1，即?a x1?3，y1?0，z1?? ?3a?z1?0???x1?2ay1??m?BC?0?22m??3，0，?1

?设面ABC法向量为n??x2，y2，z2?

?a3?az2?0?n?BC=0?x2?2ay2?.即?2 x2?0，y2?3，z2?4 ?2??2ax?0?n?AB?0?2n?0，3，4

??设二面角E?BC?A的大小为?. cos??m?nm?n??43?1?3?16??219 19219 1919解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11

∴二面角E?BC?A的余弦值为?记事件Ai为第一台机器3年内换掉i?7个零件?i?1,2,3,4? 记事件Bi为第二台机器3年内换掉i?7个零件?i?1,2,3,4?

由题知P?A1??P?A3??P?A4??P?B1??P?B3??P?B4??0.2，P?A2??P?B2??0.4 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22

P?X?16??P?A1?P?B1??0.2?0.2?0.04

P?X?17??P?A1?P?B2??P?A2?P?B1??0.2?0.4?0.4?0.2?0.16

P?X?18??P?A1?P?B3??P?A2?P?B2??P?A3?P?B1??0.2?0.2?0.2?0.2?0.4?0.4?0.24P?X?19??P?A1?P?B4??P?A2?P?B3??P?A3?P?B2??P?A4?P?B1??0.2?0.2?0.2?0.2?0.4?0.2?0.2?0.4?0.24

P?X?20??P?A2?P?B4??P?A3?P?B3??P?A4?P?B2??0.4?0.2?0.2?0.4?0.2?0.2?0.2P?x?21??P?A3?P?B4??P?A4?P?B3??0.2?0.2?0.2?0.2?0.08 P?x?22??P?A4?P?B4??0.2?0.2?0.04

17 18 19 20 21 22 X 16 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 ⑵ 要令P?x≤n?≥0.5，0.04?0.16?0.24?0.5，0.04?0.16?0.24?0.24≥0.5

则n的最小值为19

⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用

当n?19时，费用的期望为19?200?500?0.2?1000?0.08?1500?0.04?4040 当n?20时，费用的期望为20?200?500?0.08?1000?0.04?4080 所以应选用n?19 20. (1)圆A整理为?x?1??y2?16，A坐标??1,0?，如图， 24BE∥AC，则∠C?∠EBD，由AC?AD,则∠D?∠C， 则EB?ED ?∠EBD?∠D，A32Cx1?AE?EB?AE?ED?AD?4

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为x2y2⑵ C1:??1；设l:x?my?1，

43xy??1，(y?0)； 432242B124E23D4P43因为PQ⊥l，设PQ:y??m?x?1?，联立l与椭圆C1 A21Nx?x?my?1?2得3m2?4y2?6my?9?0； ?xy2?1??3?442B124??MQ234则|MN|?1?m|yM?yN|?1?m|?m??1?1?|1?m22236m2?36?3m2?4?3m2?4|2m|1?m2?12?m2?1?3m2?4；

圆心A到PQ距离d?

?，

4m243m2?4?所以|PQ|?2|AQ|?d?216?，

21?m21?m22?SMPNQ21112?m?1?43m2?424m2?11?|MN|?|PQ|?????24??2?12,83 221223m?41?m3m?43?2m?1?xx21. （Ⅰ）f'(x)?(x?1)e?2a(x?1)?(x?1)(e?2a)．

x（i）设a?0，则f(x)?(x?2)e，f(x)只有一个零点．

（ii）设a?0，则当x?(??,1)时，f'(x)?0；当x?(1,??)时，f'(x)?0．所以f(x)在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增．

又f(1)??e，f(2)?a，取b满足b?0且b?lna，则 2f(b)?a3(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0， 22故f(x)存在两个零点．

（iii）设a?0，由f'(x)?0得x?1或x?ln(?2a)． 若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,??)时，f'(x)?0，因此f(x)在(1,??)上单调递增．又2当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点． 若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,ln(?2a))时，f'(x)?0；当x?(ln(?2a),??)时，2f'(x)?0．因此f(x)在(1,ln(?2a))单调递减，在(ln(?2a),??)单调递增．又当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点．

综上，a的取值范围为(0,??)．

不妨设x1?x2，由（Ⅰ）知x1?(??,1)，x2?(1,??)，2?x2?(??,1)，f(x)在(??,1)上（??）单调递减，所以x1?x2?2等价于f(x1)?f(2?x2)，即f(2?x2)?0. 由于f(2?x2)??x2e2?x2?a(x2?1)2，而f(x2)?(x2?2)ex2?a(x2?1)2?0，所以

f(2?x2)??x2e2?x2?(x2?2)ex2.

设g(x)??xe2?x?(x?2)ex，则g?(x)?(x?1)(e2?x?ex).

所以当x?1时，g?(x)?0，而g(1)?0，故当x?1时，g(x)?0. 从而g(x2)?f(2?x2)?0，故x1?x2?2. 22．⑴ 设圆的半径为r，作OK?AB于K

∵OA?OB，?AOB?120?

∴OK?AB，?A?30?，OK?OA?sin30??∴AB与⊙O相切 ⑵ 方法一：

假设CD与AB不平行

OA?r 2CD与AB交于F

FK2?FC?FD① ∵A、B、C、D四点共圆

∴FC?FD?FA?FB??FK?AK??FK?BK? ∵AK?BK

∴FC?FD??FK?AK??FK?AK??FK2?AK2②由①②可知矛盾 ∴AB∥CD 方法二：

因为A,B,C,D四点共圆，不妨设圆心为T，因为所以O,T为AB的中垂线上，OA?OB,TA?TB，同理OC?OD,TC?TD，所以OT为CD的中垂线，所以AB∥CD．

?x?acost23．⑴ ? （t均为参数）

y?1?asint?∴x2??y?1??a2 ①

21?为圆心，a为半径的圆．方程为x2?y2?2y?1?a2?0 ∴C1为以?0，∵x2?y2??2，y??sin? ∴?2?2?sin??1?a2?0

即为C1的极坐标方程