水平分力：Px???hc?Sx； 其中hc?111h，Sx?h?1?h；因此Px???h?h??h2。 222垂直分力：Pz???V； 其中V?S?1?S，而S?h?xh??xh0ax2dx，并注意到xh?h/a，于是得到：

3V?h?h?a?0haha?h?2h2??h。 axdx?h?????a3?a3a??因此，Pz?2h。 ?h3a（2）z?asinbx，（b/a?1，a，b为常数）。

水平分力：Px???hc?Sx?垂直分力：Pz???V； 其中V?S?1?S，而S?h?xh?xh12?h。 2?xh01h并注意到xh?arcsin，于是得到： asinbxdx，

baV?xh?h??asinbxdx?xh?h?aaax?cosbx0h?xh?h?cosbxh?0bbbhhah?a?1?arcsin?cos?b?arcsin?? babbab??hh12a?arcsin?a?h2?babb因此，Pz???h?h?arcsin?a2?h2?a?。 ?b?a?2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。已知水的重度??9810（N/m3），水渠

2左壁为y??x的直线，右壁为y?x的抛物线。

答：（1）水渠左壁面受力

①采用平板公式计算

作用力大小：P???hc?S?9810?1?2?1?6935.67(N)； 2作用力方向：垂直作用于平板OA，并指向OA。 作用点：

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y?f?yc?Ic21，其中yc?，Ic??ycS212?2??1?32，S?2?1?2。 6因此，y?f?2222??2?0.9427（m）；h?。 ?ysin45?2??（m）ff3323②采用柱面公式计算

水平分力：Px???hc?Sx?9810?垂直分力：Pz???V?9810?合力：P?1?1?1?4905?N?； 21?1?1?1?4905?N?； 2Px2?Pz2?4905?2?6936.72?N?。

（2）水渠右壁面受力

水平分力：Px???hc?Sx?9810?垂直分力：Pz???V；

11?1?1?1?4905?N?； 2而V?S?1?S，S?1?1?x2dx?1??012?； 33因此Pz???V?9810?合力：P?2?6540?N?。 3Px2?Pz2?8175?N?。

2-7 一圆筒形容器的半径R，所盛水的高度H。若该容器以等角速度?绕其中心轴转动，设r=0，z=h点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转时水不会流出）。

答：（1）作用于筒内流体的质量力包括两项：

第一项：与z坐标方向相反的重力，重力加速度为g； 第二项：沿r坐标方向的离心力，离心加速度为?r。 因此单位质量力为：

2?????f??2r?er?g?ez，其中：er、ez分别为r、z方向的单位向量。

?1?p??p??er??ez； （2）对于静止流体微分方程：f??p，其中压力梯度：?p??r?z??将质量力f和压力梯度?p代入，则得到：

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??2r?er??g?ez????p??p??er??ez； ?r?z比较方程两端，则得到：

?p?p???2r，???g。 ?r?z?p?p?p?pdr?dz，将???2r和???g代入其中，有： （3）压力的全微分：dp??r?z?r?zdp???2rdr??gdz；

将上式两端同时积分，得到：

p?1??2r2??gz?C，其中C为常数。 2将条件r?0、z?h时p?p0代入上式，则得到：

C?p0??gh。

即流体内部的压力分布为：

p?11??2r2??gz?p0??gh?p0??g(h?z)???2r2； 22又由于在自由表面上：p?p0，代入到上述压力分布式中，则得到：

1??2r2??g(h?z)?0； 2该式便是筒内流体的自由面方程。

2-8底面积a×a=200×200mm2的正方形容器的质量为m1=4kg，水的高度为h=150mm，容器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13，试求不使水溢出的最小高度H。 答：（1）求水平加速度ax：

建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为H。

?，容器和水的总质量为m，则： 设容器内水的质量为m1???a2h?1.0?103?0.2?0.2?0.15?6（kg）， m1??4?6?10（kg）m?m1?m1。

由牛顿第二定律：

m2g??mg?(m?m2)ax，

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其中??0.13为摩擦系数，则水平加速度为：

ax?1?m2??m?g?1?25?0.13?10?g?0.667g。

m?m235（2）求作用于流体上的单位质量力：

???1?单位质量力为：f??axi?gk。代入到静止流体平衡微分方程f??p中，有：

??1??p??p????axi?gk??i?k?；

???x?z?比较方程两端，可以得到：

?p?p???ax，???g。 ?x?z（3）求自由表面方程

压力的全微分为：dp??p?pdx?dz。 ?x?z在自由液面上，p?p0?const，dp?0。代入到上式中得到：??axdx?g?dz?0。对其进行积分，得到自由表面方程：

axx?gz?C

其中C为常数。

*** （确定常数C和高度H）：

由于自由表面方程通过两点：(0,H)、(a,h1)，代入到自由面方程中，则有：

0?ax?gH?C (1) a?ax?gh1?C (2)

将（1）代入到（2）中，得到：

a?ax?gh1?gH (3)

又由于倾斜前后，水体积（质量）保持不变，则有：

a2h?12a(H?h1) 2整理得到：h1?2h?H （4） 将（4）代入（3）中，得到：

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a?ax?g(2h?H)?gH，

整理得到：

H?ax0.667g， ?a?h??0.2?0.15?0.218（m）

2g2g即不使水溢出的最小高度为0.218m。

2-9 一物体位于互不相容的两种液体的交界处。若两液体的重度分别为?1，?2（?2＞?1），物体浸入液体?1中的体积为V1，浸入液体?2中的体积为V2，求物体的浮力。

答：设微元面积dS上的压力为p，其单位外法向量为n，则作用于dS上的流体静力为

???dP??pndS。

??沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为P????pndS。

S设V1部分的表面积为S1，设V2部分的表面积为S2，两种液体交界面处物体的截面积为S0，交界面处的压力为p0。

并建立下述坐标系，即取交界面为xoy平面，z轴垂直向上为正，液体深度h向下为正，显然h??z。

????因此P????pndS????pndS???pndS。

SS1S2在S1上p?p0??1h?p0??1z，在S2上p?p0??2z；代入到上式中得到：

???P?????p0??1z?ndS????p0??2z?ndS????????p0ndS?????1z?ndS???p0ndS?????2z?ndSS1S1S2S2S1S2

???????????????????p0ndS???p0ndS?????1z?ndS?????2z?ndS??S??S??S?S2?1??1??2???在此，需要注意到，由于在交界面上z?0，因此有????1z?ndS?????2z?ndS?0。将这两

S0S0项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中，则原式成为：

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