高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总

编者：邬小军

【知识汇编】

x?x0?tcos?参数方程：直线参数方程：?(t为参数) ??y?y0?tsin?(x0,y0)为直线上的定点， t为直线上任一点

(x,y)到定点(x0,y0)的数量；

x?a?rcos?圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：?(?为参数)(a,b)为圆心，r为半径； ??y?b?rsin?x?acos?椭圆x2?y2?1的参数方程是?(?为参数)； ?22ab?y?bsin?x2y2x?asec?双曲线2-2?1的参数方程是?(?为参数)； ?ab?y?btan?x?2pt抛物线y2?2px的参数方程是?(t为参数) ??y?2pt2极坐标与直角坐标互化公式：

若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为(?,?)，直角

y坐标为(x,y)，则x??cos?, y??sin?, ?2?x2?y2, tan??x。

【题型1】参数方程和极坐标基本概念

1．点M的直角坐标是(?1,3)，则点M的极坐标为（ C ）

?2???A．(2,) B．(2,?) C．(2,) D．(2,2k??),(k?Z)

33332．圆??5cos??53sin?的圆心坐标是（ A ）

A．(?5,?4???5?) B．(?5,) C．(5,) D．(?5,) 33333．已知P为半圆C： （?为参数，0????）上的点，点A的坐标为（1,0），

?O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为3。

1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； 2）求直线AM的参数方程。

??解：1）由已知，M点的极角为

??3，且M点的极径等于

3，

故点M的极坐标为（

3，

?,3）.

），A（0,1），故直线AM的参数方程为

1

2）M点的直角坐标为（6

3?6??x?1?(?1)t?6???y?3?t?6?（t

为参数）

??x?2?5cos????y?1?5sin?4．已知曲线C的参数方程为

(?为参数)，

以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 1)求曲线c的极坐标方程

2)若直线l的极坐标方程为?(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。

??x?2?5cos???y?1?5sin?解：(1)∵曲线c的参数方程为? (α为参数)

∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5

?x??cos??将?y??sin? 代入并化简得：?=4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为?=4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0

2∴圆心c到直线l的距离为d=2=2∴弦长为25?2=23 .

5．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已

知曲线C1的极坐标方程为ρ＝22sin（θ＋4），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a（a＞0），射线θ＝?，θ＝?＋4，θ＝?－点O的四点A，B，C，D．

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．

??4?，θ＝2＋?与曲线C1分别交异于极

?(x?1)?(y?1)?2， C2：y?a， 解：（1）C1：

因为曲线C1关于曲线C2对称，a?1，C2：y?1 （2）

|OA|?22sin(??22?)4；

|OB|?22sin(???2)?22cos?

|OC|?22sin?，

2

|OD|?22sin(??3??)?22cos(??)44

|OA|?|OC|?|OB|?|OD|?42

【题型2】直线参数方程几何意义的应用

x?1?3t1．已知直线l1:?(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，则AB???y?2?4t22x??2?t(x?3)?(y?1)?25所截得的弦长为（ C ） 2．直线?被圆(t为参数)?52。

?y?1?t1A．98 B．40 C．82 D．93?43 41?x??2?t?2???y?2?3txOy中，?2（t为参数）直线l的参数方程为?，直线l与曲线C3．在平面直角坐标系：

(y?2)2?x2?1交于A，B两点.

（1）求

AB的长；

3????22,?4?，求轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为?（2）在以O为极点，x点P到线段AB中点M的距离.

1?x??2?t，?2???y?2?3t，?2的参数方程为?（t

解：（1）直线l为参数），

2代入曲线C的方程得t?4t?10?0．

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1?t2??4，t1t2??10， 所以|AB|?|t1?t2|?214．

2)， （2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(?2，t1?t2??22所以点P在直线l上，中点M对应参数为，

由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离|PM|?2． 4．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???，

6（1）写出直线l的参数方程。

（2）设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。

3