高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总 下载本文

高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总

编者:邬小军

【知识汇编】

x?x0?tcos?参数方程:直线参数方程:?(t为参数) ??y?y0?tsin?(x0,y0)为直线上的定点, t为直线上任一点

(x,y)到定点(x0,y0)的数量;

x?a?rcos?圆锥曲线参数方程:圆的参数方程:?(?为参数)(a,b)为圆心,r为半径; ??y?b?rsin?x?acos?椭圆x2?y2?1的参数方程是?(?为参数); ?22ab?y?bsin?x2y2x?asec?双曲线2-2?1的参数方程是?(?为参数); ?ab?y?btan?x?2pt抛物线y2?2px的参数方程是?(t为参数) ??y?2pt2极坐标与直角坐标互化公式:

若以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,点P的极坐标为(?,?),直角

y坐标为(x,y),则x??cos?, y??sin?, ?2?x2?y2, tan??x。

【题型1】参数方程和极坐标基本概念

1.点M的直角坐标是(?1,3),则点M的极坐标为( C )

?2???A.(2,) B.(2,?) C.(2,) D.(2,2k??),(k?Z)

33332.圆??5cos??53sin?的圆心坐标是( A )

A.(?5,?4???5?) B.(?5,) C.(5,) D.(?5,) 33333.已知P为半圆C: (?为参数,0????)上的点,点A的坐标为(1,0),

?O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为3。

1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标; 2)求直线AM的参数方程。

??解:1)由已知,M点的极角为

??3,且M点的极径等于

3,

故点M的极坐标为(

3,

?,3).

),A(0,1),故直线AM的参数方程为

1

2)M点的直角坐标为(6

3?6??x?1?(?1)t?6???y?3?t?6?(t

为参数)

??x?2?5cos????y?1?5sin?4.已知曲线C的参数方程为

(?为参数),

以直角坐标系原点为极点,Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 1)求曲线c的极坐标方程

2)若直线l的极坐标方程为?(sinθ+cosθ)=1,求直线l被曲线c截得的弦长。

??x?2?5cos???y?1?5sin?解:(1)∵曲线c的参数方程为? (α为参数)

∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5

?x??cos??将?y??sin? 代入并化简得:?=4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为?=4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0

2∴圆心c到直线l的距离为d=2=2∴弦长为25?2=23 .

5.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已

知曲线C1的极坐标方程为ρ=22sin(θ+4),曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线θ=?,θ=?+4,θ=?-点O的四点A,B,C,D.

(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程; (2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

??4?,θ=2+?与曲线C1分别交异于极

?(x?1)?(y?1)?2, C2:y?a, 解:(1)C1:

因为曲线C1关于曲线C2对称,a?1,C2:y?1 (2)

|OA|?22sin(??22?)4;

|OB|?22sin(???2)?22cos?

|OC|?22sin?,

2

|OD|?22sin(??3??)?22cos(??)44

|OA|?|OC|?|OB|?|OD|?42

【题型2】直线参数方程几何意义的应用

x?1?3t1.已知直线l1:?(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B,又点A(1,2),则AB???y?2?4t22x??2?t(x?3)?(y?1)?25所截得的弦长为( C ) 2.直线?被圆(t为参数)?52。

?y?1?t1A.98 B.40 C.82 D.93?43 41?x??2?t?2???y?2?3txOy中,?2(t为参数)直线l的参数方程为?,直线l与曲线C3.在平面直角坐标系:

(y?2)2?x2?1交于A,B两点.

(1)求

AB的长;

3????22,?4?,求轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点P的极坐标为?(2)在以O为极点,x点P到线段AB中点M的距离.

1?x??2?t,?2???y?2?3t,?2的参数方程为?(t

解:(1)直线l为参数),

2代入曲线C的方程得t?4t?10?0.

设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1?t2??4,t1t2??10, 所以|AB|?|t1?t2|?214.

2), (2)由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(?2,t1?t2??22所以点P在直线l上,中点M对应参数为,

由参数t的几何意义,所以点P到线段AB中点M的距离|PM|?2. 4.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???,

6(1)写出直线l的参数方程。

(2)设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积。

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