第一部分 前言 **4、Lotak-Volterra模型正平衡点（x1，x2）的稳定性
假设将两种群相互作用的Lotka-Volterra模型统一写为
?dx1/dt?x1(b1?a11x1?a12x2) (1.1) ??dx2/dt?x2(b2?a12x1?a22x2)平衡点的局部渐进稳定性
定理1 设Lotka-Volterra模型有平衡点（x1,x2）则
（1）（x1,x2）局部渐进稳定的充要条件是
****x1a11?x2a22?0, a11a22?a12a21?0 （1.2）
(2) 当（1.2）是竞争或互利系统时，（x1,x2）局部渐进稳定的必要条件是两种群均受
密度制约，即a11?0,a22?0.
平衡点的全局稳定性
定理2 设Lotka-Volterra模型有平衡点（x1,x2），则此点全局稳定的充分条件为 （1）（x1,x2）是局部渐进稳定的； （2）两种群都受密度制约。
推论 1 如果模型（1.1）为竞争或互利系统，则若平衡位置（x1,x2）局部渐进稳定，就必 然全局稳定。
推论 2 若模型（1.1）是天种群均具有密度制约的捕食-被捕食系统，则若存在正平衡位置， 它必全局稳定。 Lotka-Volterra模型的全局稳定性
定理 3 两种群互相作用的Lotka-Volterra模型为全局稳定的充分条件： （1）非平凡平衡点是正的； （2）正平衡点是局部稳定的；
（3）a11?0,a22?0（即每一种群本身是密度制约的）。
Lotka-Volterra模型的全局渐进稳定
定理 4 两种群相互作用的Lotka-Volterra模型为全局渐进稳定的充分条件为：
（1） 非平凡平衡点存在为正； （2） 正平衡点是局部渐进稳定的；
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********** 第一部分 前言 （3） a11?0,a22?0。
定理 5 模型（2.1）为大范围稳定的充分条件为
（1） 存在唯一的正平衡位置（x*,y*）， （2） 对于一切的x?0,y?0,但x?x有：
*(x?x*)g(x)?g(x*)?awy*s(x?x*)?0.
??
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第二部分 Lotka-Volterra模型的改进及其稳定性的研究 第二部分 Lotka-Volterra模型的改进及其稳定性的研究
2.1 Lotka-Volterra模型
经典的Volterra模型
设x(t)和y(t)分别表示食饵和捕食者的大小。限制食饵种群增殖的唯一因素来自于捕食者的压力，而捕食者增加的限制则取决于猎获食饵的大小。这样，在没有捕食者时，食饵种群的大小以速率?按指数增长；反之在没有食饵种群时，捕食者种群以速率?按指数规律死亡。因此，系数?和?分别为食饵种群的自然增长率和捕食者种群的自然死亡率。
设?(x)为捕食者营养函数，?(x)的k部分用于捕食者增殖， (1?k)?(x)用于维持基本代谢和猎取的活力，这时，捕食-被捕食动力系统的方程为
??dx/dt??x??(x)y
?dy/dt?y(k?(x)?m)
2.2 模型的研究对象及改进
模型的研究对象
研究对象是南美洲的潮湿森林中的格莱斯捕鸟蛛与绿鹃捕食-被捕食动力系统
格莱斯捕鸟蛛（捕食者）
它是世界上最大的蜘蛛，它以捕捉自投罗网的鸟类为食，雄性蜘蛛张开爪子时有38厘米宽
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第二部分 Lotka-Volterra模型的改进及其稳定性的研究
绿 鹃（猎物）
绿鹃生活于林区与灌丛，在叶丛中觅食昆虫，繁殖于加拿大南部到阿根廷
模型的改进
经典的Volterra模型只是理想情况，常常会因为现实环节的不同而出现种种缺陷，得到与现实违背的数据，因此我们就要在原方程的基础上，通过对实际环境与理想状态下不同的分析，对原方程进行适当的修改，以使其适合实际环境。
Volterra模型简单而不适合于许多现实的捕食-被捕食系统，本文中将要分析的南美洲的潮湿森林中的格莱斯捕鸟蛛与绿鹃捕食-被捕食动力系统同样有不合理的情况出现，例如在原模型中，在没有捕食者（捕鸟蛛）时，食饵（绿鹃）的数量会无限制的增长者在实际中是不可能出现的，因为任何种群都会受资源（食物，生存环境等等）限制，其大小有一定的限制，另一方面，在单位时间内被捕食者（捕鸟蛛）在吃掉食饵（绿鹃）大小在其总数量增加的情况下，可增大到无穷大，这也是不能成立的，因为存在着纯生理的限制。
考虑干扰后的修正模型
在考虑被捕食者种群具有密度制约的情况下，我们进一步加入了功能反应的干扰，即捕食者和食饵之间的营养关系对捕食者种群具有调节数量的机理作用。因为食鸟蛛作为一种无脊椎动物，所以我们加入了?类功能反应并重新建立模型。
在考虑被捕食者种群具有密度制约的情况下，我们进一步加入了功能反应的干扰，即捕食者和食饵之间的营养关系对捕食者种群具有调节数量的机理作用。因为食鸟蛛作为一种无脊椎动物，所以我们加入了?类功能反应并重新建立模型。
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第二部分 Lotka-Volterra模型的改进及其稳定性的研究 考虑被捕食者种群具有密度制约的情况下的?类功能反应的模型为
｛
dx2y?x(2x?), dt1?xdy6x?y(?5?) (1.2) dt1?x
其中2x为无捕食者者时被捕食者的密度制约，通过对数据的研究党没有捕食者时被捕
食者约呈2x函数增长；通过对数据的研究
?类功能反应函数
2x图像如下： 1?x2x为捕食者种群的?类功能反应。 1?x
随着x数量无限增加，被捕食者趋于饱和状态，达到营养函数。 2.3 模型的稳定性的研究
假设这个模型有正平衡点x*,y*?，x*〉0，y*<0，满足方程
2y* 2x-= 0 1?x**?
6x* -5+= 0 *1?x
(1.3)
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