数形结合在初等数学解题中的应用

学生姓名：马文静 指导教师：郝建华

引言：数形结合是中学数学中重要的思想方法之一,是数学的本质特征。

华罗庚先生曾指出:数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。就代数本身而言，缺乏直观性，就几何本身而言，缺乏严密性。只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镶，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。 在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系和转化,使数与形的信息相互渗透,可以开拓我们的解题思路,使许多数学问题简单化。

一、利用数形结合思想解代数问题

借助图形直观地研究数学问题,不仅可以加深对数量关系的理解,而且还可以简化运算过程。

（一）利用数形结合思想解决方程问题

1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题 利用函数y=f(x)的图象直观解决问题。 例1:a为何值时,方程2a2x2?2ax?1?a2?0的两根在(-1,1)之内?

图1

分析:显然a2≠0,我们可从已知方程联想到相应的二次函数

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2a2x2?2ax?1?a2?0的草图,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x轴的两个

交点在(-1,1)之间,必须满足条件:

2f(-1)>0 即(a?1)?0

11f(?)?0?a2?0 2 22f(1)>0 (a?1)?0

22?从而可解得a的取值范围为a≥2或a≤2且a≠±1.

例2：如果方程x2?2ax?k?0的两个实根在方程x2?2ax?a?4?0的两实根之间,试求a与k应满足的关系式.

图2

22y?x?2ax?k,y?x?2ax?a?4的草图.这12分析:我们可联想对应的二次函数

两个函数图像都是开口向上,形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图2).要使方程x2?2ax?k?0的两实根在方程x2?2ax?a?4?0的两实根之间,则对应的函数图像y1与x轴的交点应在函数图像y2与x轴的交点之内,它等价于抛物线y1的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y2的顶点纵坐标.由配方法可知y1与y2的

22221(?a,?a?k),P2(?a,?a?a?4).故?a?a?4??a?k?0.故可顶点分别为: P求出a与k满足的关系式为: a?4?k?a2.

2.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题

通过构造函数,把求方程解的问题,转化为两函数图像的交点问题. 例3:解方程3x?2?x.

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图3

分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数y?3与y=2-x,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解,可以看出方程的近似解为x≈0.4.

（二）利用数形结合思想解决不等式的证明和求解问题 1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集

求一元二次不等式的解集时,只要联想对应的二次函数的图像,确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况,便可直观地看出所求不等式的解集. 例4:解不等式x2?x?6?0.

x 图4

26的图像(见图4).从分析:我们可先联想对应的二次函数y?x?x?x2?x?6?0解得x1??2,x2?3,知该抛物线与x轴交点横坐标为-2,3,当x取交

点两侧的值时,即x<-2或x>3时,y>0.即x2?x?6?0.故可得不等式

x2?x?6?0的解集为:{x|x<-2或x>3}.

2.利用三角函数的图像解不等式

通过构造函数,把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.如: 例5:解不等式|cosx|>|sinx|,x∈[0,2π].

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