物理简明教程第三版课后习题及答案

习题一

drdrdvdv1-1 ｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不

同在哪里?试举例说明．

???r?r?r?r?r?r212?r1?r是位矢的模的增量，解：（1）是位移的模，即，； drdrds?v?dt（2）dt是速度的模，即dt.

drdt只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?rdt ?（式中r?叫做单位矢）∵有r?rr，则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量，

drdr与dtdt不同如题图所示. ∴

?dv?dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以

??dvdv?d????vdtdtdt

dv式中dt就是加速度的切向分量.

1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度

1

d2rdr2x2?y2时，有人先求出r＝，然后根据v=dt，及a＝dt而求得结果；又有人

先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

22

22?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???? ????va =及=

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，

???有r?xi?yj，

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

故它们的模即为

?dx??dy?22v?vx?vy???????dt??dt?222?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????

2而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作。

drv?dtd2ra?2dt

drd2rdr与2其二，可能是将dtdt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不

d2r2是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只

2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt?????。或者概括性地说，前一是加速度在径向分量中的一部分??r种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢

??r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

2

1x=3t+5, y=2t2+3t-4.

式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴

????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)

???v?3i?7j m?s?1 则 4??????(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j

??????vv4?v04a????1j?t44

???dva??1jm?s?2dt(6)

m?s?2

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

3

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大

?1小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

222 l?h?s

将上式对时间t求导，得

2ldlds?2sdtdt

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，

v绳??dlds?v0,v船??dtdt

∴

v船即

lv0(h2?s2)1/2v0v0dsldllv船???????v0?dtsdtscos?或 ss

将v船再对t求导，即得船的加速度

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

s1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为

?1m?s?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处

24

的速度值．

a?dvdvdxdv??vdtdxdtdx

解： ∵

2分离变量： ?d??adx?(2?6x)dx

12v?2x?2x3?c两边积分得 2

由题知，x?0时，v0?10,∴c?50

3?1v?2x?x?25m?s∴

?21-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s，开始运动时，x＝5 m，

v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．

a?dv?4?3tdt

解：∵

分离变量，得 dv?(4?3t)dt

3v?4t?t2?c12积分，得

由题知，t?0,v0?0,∴c1?0

3v?4t?t22 故

又因为

v?dx3?4t?t2dt2

3dx?(4t?t2)dt2分离变量， 1x?2t2?t3?c22积分得

由题知 t?0,x0?5,∴c2?5

1x?2t2?t3?52故

5