方均根速率
V2???NV?Nii2i21?102?4?202?6?103?8?402?2?50221?4?6?8?2
?25.6 m?s?1
3-5 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．
（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv （4）?0vf(v)dv （5）?0?f(v)dv （6）
?v2v1Nf(v)dv
解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)?0vf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比． ：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的
(5)?0?f(v)dv比值是1.
?(6)v1v2Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.
3-6 题3-6图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题3-6图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?
答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．
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题3-6图
3-7 试说明下列各量的物理意义．
13ikTkTkT（1）2 （2）2 （3）2 Mii3RTRTRTM2（4）mol （5）2 （6）2
解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的
1k能量均为2T．
3kT2(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为.
ikT(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为2.
(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为
MiRTMmol2.
iRT(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为2.
3RT321(6) 摩尔自由度为的分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，3RT1摩尔分子的平均平动动能之总和为2.
3-8 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降
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为0.6m，此时温度为
27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)?
pV?MRTMmol 得
解：由理想气体状态方程
M?MmolpVRT
dHg?1.33?105N?m?3汞的重度
氦气的压强
P?(0.76?0.60)?dHg
?4V?(0.88?0.60)?2.0?10m3 氦气的体积
M?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)
?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)
?1.91?10?6Kg
3-9设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．
题3-9图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
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?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0??av/Nv0?f(v)??a/N?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0)(v?2v0)(0?v?v0)(v0?v?2v0)(v?2v0)
f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积
为N，
(2)由归一化条件可得
?v00N2v0avdv?N?adv?Nv0v0a?2N3v0
(3)可通过面积计算
?N?a(2v0?1.5v0)?1N3
(4) N个粒子平均速率
v??v??01vf(v)dv?N??0vNf(v)dv??v002v0av2dv??avdvv0v0
1123211(av0?av0)?v0N329
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
?v?v00.5v0vdNN1N?N1vdN?0.5v0N
v0Nv0Nv0av2?vf(v)dv?dv??0.5v00.5v0NvNN110
332av01v0av21av017av0v?dv?(?)??0.5v0N1v0N13v024v0N124
0.5v0到1v0区间内粒子数
131(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N284
N1?27av07vv??06N9
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3-10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于
vp?vp?100?1vp?vp?100?1与
之间的分子数占总分子数的百分比．
vvP，则麦克斯韦速率分布函数可表示为
u?解：令
dN42?u2?ueduN?
因为u?1,?u?0.02
?N42?u2?ue?uN?由 得 ?N4??1?e?1?0.02?1.66%N?
3-11 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?
E??iRT2
解：理想气体分子的能量
Et?平动动能 t?3
3?8.31?300?3739.5J 2转动动能 r?2
Ei?Er?2?8.31?300?2493J 2内能i?5
5?8.31?300?6232.52 J
3-12 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)．
解：由气体状态方程p?nkT得
p1.38?10?3n???3.33?101723?3kT1.38?10?300 m
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