第二章 推理与证明
课时作业37
一、选择题
1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( ) A.有一个解 C.至少有三个解
B.有两个解 D.至少有两个解
解析:在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.
答案:C
2.设a,b,c为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:首先若P,Q,R同时大于零,则必有PQR>0成立.其次,若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设P<0,Q<0,∴a+b-c<0,b+c-a<0,∴
b<0与b为正实数矛盾,故P,Q,R都大于0.故选C.
答案:C
3.已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R,下列四个命题: ①若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); ②若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0; ③若a+b<0,则f(a)+f(b) B. 2 D. 4 解析:易知①③正确.②用反证法:假设a+b<0,则a<-b,b<-a,∴f(a) b),f(b) 命题,④类似于②用反证法.故选D. 答案:D 4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( ) A. △A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C. △A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D. △A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形 解析:因为正弦值在(0°,180°)内是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形. 假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cosA1=sinA2,则cosA1=cos(90°-∠A2), 所以∠A1=90°-∠A2. 同理设cosB1=sinB2,cosC1=sinC2, 则有∠B1=90°-∠B2,∠C1=90°-∠C2. 又∠A1+∠B1+∠C1=180°, ∴(90°-∠A2)+(90°-∠B2)+(90°-∠C2)=180°, 即∠A2+∠B2+∠C2=90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾, 所以原假设不成立.故选D. 答案:D 二、填空题 5.用反证法证明“f(x)=x+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个1 不小于”时的假设为________. 2 解析:“至少有一个”的反设词为“一个也没有”. 1 答案:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 2 6.用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个钝角. ③假设△ABC中有两个钝角,不妨设∠A>90°,∠B>90°. 上述步骤的正确顺序为__________. 解析:根据反证法知,上述步骤的正确顺序应为③①②. 答案:③①② 7.若下列两个方程x+(a-1)x+a=0,x+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是______. 2 2 2 2 ??Δ1= 解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有? ?Δ2=???3a+2a-1>0, ?2 ?a+2a<0,? 2 a-1 2a2 2 -4a<0, 2 -4-2a<0, 即 解得{a|-2 -1}即为所求的a的取值范围. 答案:{a|a≤-2或a≥-1} 三、解答题 8.设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列. 证明:假设数列{cn}是等比数列,利用{an},{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立. 假设数列{cn}是等比数列,则 (an+bn)=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).① ∵{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,∴an=an-1an+1,bn= 2 2 2 bn-1bn+1. 代入①并整理,得 2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(+), 即2=+.② 当p,q异号时,+<0,与②相矛盾; 当p,q同号时,由于p≠q,∴+>2,与②相矛盾.故数列{cn}不是等比数列. 9.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax+2bx+c,y=bx+2cx+a和y=cx+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点. 由y=ax+2bx+c, 2 2 2 2 pqqppqqppqqppqqpy=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得Δ1=(2b)-4ac≤0, 且Δ2=(2c)-4ab≤0, 且Δ3=(2a)-4bc≤0. 同向不等式求和得 4b+4c+4a-4ac-4ab-4bc≤0, 2 2 2222