基于Matlab的曲线拟合方法研究

一、引言

在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用[1]。本文分别采用矩阵法和三次样条函数法，以气体传感器数据点的曲线拟合过程为例，详细介绍了这两种方法的应用过程，经比较分析，三次样条函数法能达到很好的拟合效果。 二、曲线拟合原理

（一）矩阵法曲线拟合原理

在实际计算中，通过对偏差的平方和每个系数求偏导数，使偏导数为零来建立方程组，通过矩阵运算得到系数公式，然后求得系数。从而实现曲线拟合的方法就叫矩阵法[3]。

矩阵运算的引入：设f（xi）=（i=1，2，…n）。其中Cij由xi计算得到。则

（二）三次样条曲线拟合原理

在三次样条函数曲线中，两断点（节点）之间的曲线段是由一个三次多项式拟合而成，而整个样条曲线是由一段一段的三次多项式曲线构成，每段三次多项式的系数不同[2]。

设有一个节点列Pi（xi，yi），i=0～n，样条函数S（x）在x=xi节点处的函数值、一阶导数、二阶 导数分别为：

三、曲线拟合方法应用

根据以上分析，本文对纳米气体传感器的灵敏度一温度曲线进行拟合。以SnO2为基础材料制备的气敏元件是目前应用范围最广的一种元件，具有许多优点。将掺杂了不同浓度的苯的SnO2纳米气体传感器置于相同的气体浓度、压力试验条件下，改变试验温度，每隔一定温度采集一次传感器的输出数据。表1给出了在190℃～480℃下，掺杂某一浓度苯的纳米气体传感器的灵敏度一温度对应关系，温度间隔为10℃[4]。

测出一系列灵敏度一温度关系的实验结果，并对实验数据用Matlab软件作为工具运用矩阵法和三次样条函数法进行曲线拟合. 四、矩阵法曲线拟合

根据以上实验数据分析，气体传感器的输出特性曲线中间部分线性关系比较好，两端呈非线性，故选取中间部分实验数据（260℃～400℃）进行曲线拟合，其中间隔20℃取一个数据点，则可取数学公式为y=kx+b，其中k，b为待求系数

通过实验得知矩阵法曲线拟合的优点是：在整个计算过程中简单明了，方便快捷，根据实验数据即可通过矩阵的简单运算直接算出与其相对应的函数关系式。使曲线拟合变得十分容易，在计算机程序中整齐化一，而不必为不同的函数关系编制不同的程序段。缺点是：多适用于对线性关系的曲线拟合，若对非线性关系拟合，则出现较大误差。三次样条函数法的优点是：更适用于非线性的曲线拟合，样条函数是光滑连接的分段多项式，两节点（断点） 之间的曲线是由一段一段的三次多项式构成，且各段多项式具有不同的系数。其构造特点之一是节点一定在曲线上，它具有很强的适应数据微小变化的能力、插值灵活和最佳逼近等优良特性，因而曲线整体光滑性较好曲线拟合精度高。三次样条函数曲线拟合的相对误差在（-0.2?，+0.3?）内。由于相邻节点处的函数值、一阶导数以及二阶导数都连续，因而整条曲线十分光滑；拟合效果明显好于矩阵法。