本章的知识结构框图

???整数??有理数???分数??实数分类??无理数?正无理数?????负无理数????定义：如果一个数x的平方等于a，即x2?a，那么这个数x叫做a的平方根???2平方根??表示：若x?a，则x??a??算术平方根：若x2?a，则a的算术平方根为x????3?定义：如果一个数x的立方等于a，即x?a，那么这个数x叫做a的立方根??立方根??表示：若x3?a，则x?3a????实数???定义：式子a(a?0)叫做二次根式二次根式????最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式??2?(a)?a(a?0)???2?a?a???33(a)?a????重要性质?3a3?a????a?b?ab(a?0,b?0)??a??a?(a?0,b?0)??bb????实数的性质应用

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

第一环节 知识回顾

知识点填空:

（1） 无限不循环小数 叫做无理数． （2） 有理数和无理数 统称为实数．

???整数?有理数????分数 实数分类???正无理数??无理数?负无理数???

（3） 实数 和数轴上的点是一一对应的．

（4）a2?a；(a)2?a(a?0)；(3a)3?a；3a3?a；

a?b?ab(a?0,b?0)；

ab?a(a?0,b?0) b（5）把 分母 中的根号化去，叫做分母有理化．

（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式

（7）同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可以约分的分式要约分．

设计说明：以上7个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.

第二环节 典例精析

（一）实数的相关概念

例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

23，35，3.14159265，9，??，3?1，(?5)2，3.1010010001…（相邻两

个1之间0的各数逐次加1）

设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在判断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的9，(?5)2虽然都含有根号，但它们都是有理数.所以此题中的有理数有：3.14159265，

9，(?5)2；无理数有：23，35，??，3?1，3.1010010001…（相邻两个

1之间0的各数逐次加1） （二）实数的相关性质及运算

例2 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简a?b?(b?a)2.

设计说明：此题考查算术平方根的意义，也培养学生的读图能力，体现数学中的数形结合思想方法．由数轴上a、b的位置可知a?b?0，b?a?0，从而根据算术平方根与绝对值的意义有：

2a?b?(b?a)??(a?b)?b?a??a?b?b?a2 ??a111?40 (2) 512?9?48 1032例3 计算：(1)设计说明：意在复习实数的运算法则及二次根式的化简.

11101910 ?40??410??210??10101010512?911113?48?543?9?163?103?9??23?103?33?23?93323322013例4 （1）已知a、b满足a?2?b?3?0，求(a?b)的值

（2）已知y?2x?4?24?2x?3，求xy的值.

设计说明：运用算术平方根的双重非负性解决此题，这也是本章的难点之一. 解：（1）

又

a?2?0,b?3?0 a?2?b?3?0

?a?2?0,b?3?0

?a?2,b??3

?(a?b)2013?(2?3)2013?(?1)2013??1

（2）2x?4?0,4?2x?0

?2x?4?4?2x?0 ?x?2

?y?0?0?3?3 ?xy?23?8

（三）实数中的数形结合

例5、已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？

设计说明：此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题．其易错点是△ABC的形状有两种情况，学生容易忽略钝角三角形的情况．通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.

分析：（1）当△ABC为锐角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15+6=21.

BAADCBCD（2）当△ABC为钝角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15－6=9.

第三环节 运用巩固

1．下列说法错误的是（ ）

A．4的算术平方根是2 B．2是2的平方根 C．－1的立方根是－1 D．－3是(?3)2的平方根 2．当2?x?3时，求代数式16?16x?4x2?2x?6的值． 3．若x?1有意义，求x的取值范围. x?24．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6，它底边上的高为68，求这个等腰三

角形的周长与面积．

设计说明：通过这几道题意在巩固第二环节的学习效果，让学生自己动笔练习，并在独立完成后通过小组合作来进行交流订正．

答案：1．D 2．2 3．x?2 4．C?ABC?817，S?ABC?51

第四环节 课堂小结

请同学们认真思考下列问题：

1、通过本堂课的学习我收获了什么？ 2、我还有哪些没有解决的困惑？

设计说明：用2分钟左后时间让学生思考这两个问题，并请学生回答，及时肯定学生的收获并加以归纳，同时发现学生的困惑及时答疑．

第五环节 布置作业

完成课本P47?49复习题知识技能1题、4题、10题；数学理解14题；问题解决21题．

设计说明：1题是关于有理数与无理数概念的题；4题为实数的运算题；10题考查的是“实数与数轴上的点一一对应”这一知识点，巩固数形结合的思想方法；14题看似简单，其实考查了本章的众多概念，特别适合用于检验学生对基础知识的掌握情况；21题为实数的应用，在考查计算的同时也锻炼了学生作图、读图、数形结合的综合能力．

四、教学设计反思

1．选择性的使用例题

在此教学设计中，例题数量并不少，针对不同的学生群体，老师可适当删减，做到有的放矢，但是建议概念例题保留． 2．给予学生充分的表达和交流的机会

老师可以在前四个环节中根据具体情况采用不同的教学方法，可以师生互动也可以生生互动，通过交流讨论让学生学会表达、学会倾听、学会归纳．其实教学活动最主要的意图就是让学生主动起来，应多给予学生交流的时间与机会． 3．注意收集学生生成性的学习资源