高中数学选修2-1学案
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象.
知识点 椭圆的几何性质 (1)椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x2y2a2＋b2＝1(a>b>0) －a≤x≤a， －b≤y≤b， A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) y2x2a2＋b2＝1(a>b>0) －b≤x≤b －a≤y≤a A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 短轴长＝2b，长轴长＝2a (±a2－b2，0) |F1F2|＝2a2－b2 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 ce＝a∈(0，1) (0，±a2－b2) (2)离心率的作用
当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.
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题型一 椭圆的简单几何性质
【例1】 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. y2
解 把已知方程化成标准方程为25＋x2＝1， 则a＝5，b＝1. 所以c＝
25－1＝26，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2， 两个焦点分别是F1(0，－26)，F2(0，26)，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).
规律方法 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
【训练1】 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
解 椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为 x2y2
1＋1＝1. m24m211
∵m2<4m2，∴m2>4m2，
11
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝m，短半轴长b＝2m，半焦距长c＝32m. 21
∴椭圆的长轴长2a＝m，短轴长2b＝m，
?3??3?
焦点坐标为?－，0?，?，0?，
?2m??2m?
1??1??1??1??
顶点坐标为?m，0?，?－m，0?，?0，－2m?，?0，2m?.
????????
2
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3c2m3
离心率e＝a＝1＝2.
m
题型二 由椭圆的几何性质求方程
【例2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为2，焦距为8； 2
(2)已知椭圆的离心率为e＝3，短轴长为85. 解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4， c41
∴e＝a＝a＝2，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48，
y2x2
∴椭圆的标准方程是64＋48＝1.
c22
(2)由e＝a＝3得c＝3a，
又2b＝85，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80， x2y2x2y2
所以椭圆的标准方程为144＋80＝1或80＋144＝1.
规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
6
【训练2】 椭圆过点(3，0)，离心率e＝3，求椭圆的标准方程. 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3，0)，∴点(3，0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在x轴上时，(3，0)为右顶点，则a＝3. c666
∵e＝a＝3，∴c＝3a＝3×3＝6， ∴b2＝a2－c2＝32－(6)2＝9－6＝3，
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x2y2
∴椭圆的标准方程为9＋3＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3，0)为右顶点，则b＝3. c66∵e＝a＝3，∴c＝3a，
21
∴b2＝a2－c2＝a2－3a2＝3a2，
y2x2
∴a＝3b＝27，∴椭圆的标准方程为27＋9＝1.
x2y2y2x2
综上可知，椭圆的标准方程是9＋3＝1或27＋9＝1.
2
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考查 方向 方向1 求离心率的值
题型三 求椭圆的离心率 x2y2
【例3－1】 已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右
6
顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为6|F1F2|，求椭圆C的离心率.
xy
解 由题意知A(a，0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为a＋b＝1，即bx＋ay－ab＝0，又|F1F2|＝2c， ∴6
＝3c.∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0， a2＋b2ab
2
解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝2. 方向2 求离心率的取值范围
x2y2
【例3－2】 已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段14
CF1的中点，若|k|≤2，求椭圆离心率e的取值范围. 解 依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)， 则C(0，kc).
?ckc?因为点B为CF1的中点，所以B?－2，2?.
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