数值计算方法上机实习题

xndx， 1． 设In??05?x11，从I0=0.1822, I0=0.1823出发，计算I20； n11（2） I20=0，I20=10000, 用In?1??In?，计算I0；

55n（1） 由递推公式In??5In?1?（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。

解：（1）程序如下: （2）程序如下: clear all clear all clc clc I=0.1822; %题中的已知数据 I=0; %赋予I20的初始值 for n=1:20; for n=0:19; I=(-5)*I+1/n; %由递推公式所得 I=(-1/5)*I+1/(5*(20-n)); %有递推公式得 end end fprintf('I20=%f\\n',I) fprintf('I0=%f\\n',I)

M=10000; M=0.1823; %与I的计算结果形成对比

for i=1:20; for i=0:19; M=(-5)*M+1/i; %由递推公式所得 M=(-1/5)*M+1/(5*(20-i));%有递推公式得 end end fprintf('M20=%f\\n',M) fprintf('M0=%f\\n',M) 输出结果为： 输出结果为： I20=-11592559237.912731 I0=0.182322 M20=-2055816073.851284 M0=0.182322

（3）由输出结果可看出第一种算法为不稳定算法，第二中算法为稳定算法。 由于误差

*e0?I0?I 0*en?In?In??5In?1?11**2n?(?5In?)?5(In?1?1?In?1)?5en?1?5en?2?5e0nn第一种算法为正向迭代算法，每计算一步误差增长5倍，虽然所给的初始值很接近，随

着n的增大，误差也越来越大。

?en?In?In111?111????en?1?In?1?In?e??I??(?I?)?I?I?en ?1nnnnn55n55n55?1?e0???en?5?第二种算法为倒向迭代算法，每计算一步误差缩小5倍，虽然所给的初始值之间差很多，随着n的增大，误差也越来越小。

?42． 求方程e?10x?2?0的近似根，要求xk?1?xk?5?10，并比较计算量。

xn（1） 在[0，1]上用二分法； （2） 取初值x0?0，并用迭代xk?12?ex?；

10（3） 加速迭代的结果；

（4） 取初值x0?0，并用牛顿迭代法； （5） 分析绝对误差。 解：（1）程序如下（二分法）： clear all clc

a=0;b=1;

f=@(x)(exp(x)+10*x-2);

%@是定义函数句柄的运算符 c=(a+b)/2;%取区间中点 i=0;%分割次数

while abs(f(c))>5*10^(-4)

%判断f(x)的精度是否满足要求 if f(a)*f(c)<0 b=c;c=(a+b)/2; elseif f(b)*f(c)<0 a=c;c=(b+a)/2; end i=i+1; end

fprintf('二分法运算次数为%i\\n',i) fprintf('二分法计算结果为%f\\n',c) 运行结果如下：

二分法运算次数为13

二分法计算结果为0.090515 （2）程序如下（不动点迭代）

（3）程序如下（艾肯特迭代加速） clear all clc x0=0;

x=x0; %给定迭代初值

p(1000)=0; %先定义p矩阵的长度 p(1)=x;

for k=2:1000 ; %规定迭代次数上限 y=(2-exp(x))/10; z=(2-exp(y))/10;

x=x-((y-x)^2)/(z-2*y+x); （4）程序如下（牛顿法迭代） clear all

clear all clc x0=0; x=x0;

for k=1:10000 %规定迭代次数上限

y=(2-exp(x))/10; %迭代结果存到y中 if abs(x-y)<5*10^(-4)

fprintf('初始值x0为%i\\n迭代次数为%i\\n',x0,k); break end x=y;

if k==10000;

fprintf('迭代次数超出上限%i\\n',k); end end

fprintf('迭代法计算结果为%f\\n',y); 运行结果为： 初始值x0为0 迭代次数为4

迭代法计算结果为0.090513

clc x0=0;

x=x0; %给定迭代初值

for k=1:1000 ; %规定迭代次数上限

y=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); %牛顿计算公式

if abs(y-x)<5*10^(-4)

fprintf('初始值x0为%f\\n迭代次数为%i\\n',x0,k);

%艾特肯加速公式

p(k)=x; %p是用来存储每一步迭代结果的矩阵

if abs(p(k-1)-p(k))<5*10^(-4)

x=y; fprintf('初始值x0为%f\\n迭代次数

if k==1000; 为%i\\n',x0,k-1);

break fprintf('迭代次数超出上限%i\\n',k); end end if k==1000; end fprintf('迭代次数超出上限%i\\n',k); fprintf('牛顿迭代法计算结果为%f\\n',y);

end 运行结果为： end 初始值x0为0.000000 fprintf('艾特肯加速迭代法计算结果迭代次数为2 为%f\\n',x); 牛顿迭代法计算结果为0.090525 运行结果为： (5)分析绝对误差 初始值x0为0.000000 通过指令求得方程精确解的近似解：

>> solve('exp(x)+10*x-2=0') 迭代次数为2

ans = 艾特肯加速迭代法计算结果为0.090525

1/5 - lambertw(0, exp(1/5)/10) >> 1/5 - lambertw(0, exp(1/5)/10) break ans = end 0.090525101307255 各种计算方法的绝对误差为:

二分法的绝对误差：1.0e-04 * 0.508986927450078

不动点迭代方法的绝对误差： 1.0e-04 * 0.121013072549997 艾特肯加速迭代的绝对误差： 1.0e-04 * 0.001013072550016 牛顿法的绝对误差: 1.0e-04 * 0.001013072550016

由上述各种算法计算出方程的值，二分法迭代了11次，收敛速度最慢，不动点迭代法迭代了4次，艾特肯迭代法迭代了2次，牛顿法迭代了2次，后两种方法的收敛速度都比较快，但计算量大。由绝对误差可以看出二分法的误差最大，而艾特肯加速迭代和牛顿法误差最小。

3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下： x y 10 2 3 4 5 6 9.7 14 7 10 15 8 11 12 13 16 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76 试从中找出使用次数和容积之间的关系，计算均方差。（用y?解：用已知函数模型来拟合，程序如下： 先编辑函数

function [err]=f31(f,x,y) a=f(1); b=f(2); c=f(3); err=0; for k=1:15

err=err+((c+x(k))*y(k)-(a*x(k)+b))^2;

9 6.42 8.2 9.58 9.5 9.93 9.99 ax?b拟合） c?x