一次函数与二元一次方程（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 能用函数观点看二元一次方程，能用辨证的观点认识一次函数与二元一次方程的区别与联系.

2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想． 【要点梳理】

要点一、一次函数与二元一次方程

一次函数y?kx?b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx?y?b?0的解；以二元一次方程kx?y?b?0的解为坐标的点都在一次函数y?kx?b的图像上. 要点二、一次函数与二元一次方程组

在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数y??2x?4与y?313x?图象的交点为(3，－2)，则22就是二元一次方程

?y??2x?4?组?313的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程

y?x???22组的图像解法. 要点诠释：

1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组

无解，则一次函数y?3x?5与y?3x?1的图象

就平行，反之也成立.

2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.

要点三、方程组解的几何意义

1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．

2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；

根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．

3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．

【典型例题】

类型一、一次函数与二元一次方程

1、下列图象中，以方程?2x?y?2?0的解为坐标的点组成的图象是（ ）

A． B． C． D．

【思路点拨】将方程?2x?y?2?0转换成y?2x?2，找出直线y?2x?2与坐标轴的交点，即可确定以方程?2x?y?2?0的解为坐标的点组成的图象． 【答案】B． 【解析】

解：在方程?2x?y?2?0中，

当x＝0时，y＝2； 当y＝0时，x＝－1．

【总结升华】本题主要考查一次函数与二元一次方程在坐标轴中的图象：根据一次函数与坐标轴的交点可确定图象的位置． 举一反三：

【变式】二元一次方程的图象如图所示，则这个二元一次方程为（ ）

A．x?3y?3 B．x?3y?3 C．3x?y?1 D．3x?y?1 【答案】A．

类型二、一次函数与二元一次方程组

2、用图象法解方程组：??x?y?2?0，

?y?2x?1．y4321-4-3-2-1-1-2123y=2x-1【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解. 【答案与解析】

y=x-24?y?x?2，解法一：将方程组化为?

y?2x?1；?在坐标系中画出直线y?x?2和y?2x?1．

x-3-4-5列表：

x … … 0 2 0 … … y?x?2 ?2 0 x y?2x?1 … … 0.5 … 0 … ?1 由图象知，它们的交点坐标为（?1，?3），并进行验证； ．．．．．．可得原方程组的解为?，?x??1

?y??3．解法二：令y?2x?1?(x?2)，即y?x?1．

因为直线y?x?1与x轴（直线y＝0）的交点为（?1，0），

所以方程组??x?y?2?0，中x??1，进而y??3．

?y?2x?1．【总结升华】一般地，若两条直线y?k1x?b1和y?k2x?b2的交点坐标为（m，n），则

?y?k1x?b1，?x?m，方程组?的解为? 其中k1?k2?0．

y?kx?b；y?n；?22?举一反三：

【高清课堂：391660 一次函数与一元一次方程（组），例4】

【变式】分别用f(x)和g(x)表示两个关于x的代数式，在坐标系中，如果函数y?f(x)与

?y?f(x)，y?g(x)的图象有3个交点，那么方程组?的解的个数是 ．

y?g(x)?【答案】3；

3、（2014秋?陕西校级月考）如图，

（1）点A的坐标可以看成是方程组 的解．（写出解答过程） （2）求出两直线与y轴所围成的三角形的面积．