2．绝对值不等式的解法

1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；

|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.

2．了解绝对值不等式的几何解法．

, [学生用书P16])

1．含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法

??－a＜x＜a（a＞0），

(1)|x|＜a??

??空集（a≤0）.

x∈R（a＜0），??

(2)|x|＞a??x∈R且x≠0（a＝0），

??x＞a或x＜－a（a＞0）.

2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c． (2)|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c．

3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的三种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义．

(2)利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之．

(3)通过构造函数，利用函数图象．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若|f(x)|＞|g(x)|，则f(x)＜g(x)，或f(x)＞－g(x)．( )

(2)绝对值三角不等式的解法一般有分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．( ) (3)几何法解绝对值不等式的关键是利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：即数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|.( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．不等式|x－1|<1的解集为( ) A．(0，2) C．(1，2)

B．(－∞，2) D．[0，2)

解析：选A.由|x－1|<1?－1

3．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7)

解析：选D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于3≤2x－5<9或－9<2x－5≤－3， 解得4≤x<7或－2

4．不等式|x－2|≤|x|的解集是________． 解析：|x－2|≤|x|?(x－2)≤x?4－4x≤0?x≥1.

2

2

答案：{x|x≥1}

含有一个绝对值号不等式的解法[学生用书P16]

解下列不等式． (1)|2x＋5|<7； (2)|2x＋5|>7＋x； (3)2≤|x－2|≤4.

【解】 (1)原不等式等价于－7<2x＋5<7. 所以－12<2x<2， 所以－6

所以原不等式的解集为{x|－67＋x，

可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， 所以x>2或x<－4.

所以原不等式的解集为{x|x>2或x<－4}．

??|x－2|≥2，①(3)原不等式等价于?

?|x－2|≤4.②?

由①得x－2≤－2，或x－2≥2， 所以x≤0，或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6.

所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．

含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法

(1)形如|f(x)|0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解．

(2)形如|f(x)|g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|g(x)?f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)． (这里g(x)可正也可负) ②分类讨论法：

???f（x）≥0?f（x）<0

|f(x)|

?f（x）

|f(x)|>g(x)??或?.

??f（x）>g（x）－f（x）>g（x）??

解不等式：1＜|x－2|≤3.

解：原不等式等价于不等式组

?|x－2|＞1，??x＜1或x＞3，?

?即? ??|x－2|≤3，－1≤x≤5，??

解得－1≤x＜1或3＜x≤5，

所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．

含有两个绝对值号不等式的解法[学生用书P17]

解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x. 【解】 (1)因为|x－1|>|2x－3|，

所以(x－1)>(2x－3)，即(2x－3)－(x－1)<0， 所以(2x－3＋x－1)(2x－3－x＋1)<0， 即(3x－4)(x－2)<0， 4

所以

3

2

2

2

2

?4?即原不等式的解集为?，2?. ?3?

???????x≤1?1

???(2)原不等式?或或??1或?或?1－x＋2－x>2??x－1＋2－x>2??x－1＋x－2>2?x0

?2

x≤1