虽然s1的大小是未知的，可在沿主应力s1的方向上贴一个应变片，通过测得el，就可利用s1=Ee1公式求得s1。

8.7.2 主应力方向巳知平面应力状态

平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸(或压缩)作用而产生的应力状态，如图8-31所示。

图中单元体受已知方向的平面应力s1和s2作用，在X和Y方向的应变分别为

s1作用：X方向的应变el为s1/E

Y方向的应变e2为-μs1/E

s2作用：Y方向的应变e2为e2/E

X方向的应变el为-μe2/E

由此可得X方向的应变和Y方向的应变分别为

（8-72） 上式变换形式后可得

（8-73）

由此可知：在平面应力状态下，若已知主应力s1或s2的方向(s1与s2相互垂直)，则只要沿s1和s2方向各贴一片应变片，测得εl和ε2后代入式（8-73），即可求得s1和s2值。 8.7.3 主应力方向未知平面应力状态

当平面应力的主应力s1和σ2的大小及方向都未知时，需对一个测点贴三个不同方向的应变片，测出三个方向的应变，才能确定主应力s1和s2及主方向角q三个未知量。

图8-33表示边长为x和y、对角线长为l的矩形单元体。设在平面应力状态下，与主应力方向成q角的任一方向的应变为

，即图中对角线长度l的相对变化量。

由于主应力sx、sy的作用，该单元体在X、Y方向的伸长量为Δx、Δy，如图8-33(a)、(b)所示，该方向的应变为ex=Δx/x、ey=Δy/y；在切应力τxy作用下，使原直角∠XOY减小gxy，如图8-33(c)所示，即

切应变gxy=Δx/y。这三个变形引起单元体对角线长度l的变化分别为Δxcosq、Δysinq、ygxy cosq，其应变分别为excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。当ex、ey、gxy同时发生时，则对角线的总应变为上述三者之和，可表示为

（8-74）

利用半角公式变换后，上式可写成

（8-75）

由式 (8-75)可知eθ与ex、ey、gxy之间的关系。因ex、ey、gxy未知，实际测量时可任选与X轴成q1、

q2、q3三个角的方向各贴一个应变片，测得e1、e2、e3连同三个角度代入式(8-75)中可得

（8-76）

由式(8-76)联立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主应变e1、e2和主方向与X轴的夹角q，即

（8-77）

将上式中主应变e1和e2代入式(8-73)中，即可求得主应力。

在实际测量中，为简化计算，三个应变片与X轴的夹角q1、q2、q3总是选取特殊角，如

0°、45°和90°或0°、60°和120°角，并将三个应变片的丝栅制在同一基底上，形成所谓应变花。图8-34所示是丝式应变花。设应变花与X轴夹角为q1=0°，q2=45°、q3=90°，将此q1、q2、q3值分别代人式(8-76)得

（8-78） 由式(8-78)可得

（8-79）

将式(8-79)代入式(8-77)可得主应变e1、e2和主应变方向角q的计算式为

（8-80）

（8-81） 将式(8-80)代入式(8-81)得应力计算公式为

（8-82）

对q1=0°、q2=60°、q3=120°的应变花，主应变e1、e2和主应变方向角θ及主应力s1和s2计算公式为

（8-83）

（8-84）

（8-85）