2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是
A．
B. (??,2) C．(233,1) D. (??,23)U(1,??)
2．己知集合A={x|1?8x?2?0}，则
A.{x|x<2或x≥6} B.{x|x≤2或x≥6} C.{x|x<2或x≥10} D.{x|x≤2或x≥10}
3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=
A. 96 B. 72 C. 48 D. 36
4．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
5．己知点A与点B(1，2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为 A.(3,4) B. (4,5) C. (-4,-3) D. (-5,-4)
6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为 ，则数学期望 = A．
B.1 C.
D．2 7．已知：,其中??(?2,?),则
A.
B.
C.
D.
8．过双曲线
的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长
FE交双曲线右交于点P，若，则双曲线的离心率为 A.
B.
C.
D．
9．若曲线y= x3 -2x2 +2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为
A.4
B. 3+2
C. 6+4
D.8
10．函数的部分图像如图所示，先把函数y=f(x)图像上
各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移
个单位长度，得到
函数y=g(x)的图像，则函数y=g(x)的图像的 一条对称轴为 A.x= B. x= C． x= -
D．x= -
11.已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M(xo，yo)，且1≤yo -xo≤7，则的取值范围为 A.
B.
C.
D.
12.若点A(t，0)与曲线y=ex上点P的距离的最小值为，则实数t的值为
A. 4- B. 4- C. 3+
D. 3+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ． 14．若(ax-l)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是____． 15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式就是
其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边．若
sinC=2sinAcosB，且b2，1，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为____．
16.有一个底面半径为R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a的最大值为____．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. （本小题满分12分）
己知{an}是递增的等比数列，a2+a3 =4，ala4=3． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
1
18. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
根据上表的数据得到如下的散点图．
(1)根据上表中的样本数据及其散点图：
(i)求;
(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度． (2)若y关于x的线性回归方程为 ，求的值（精确到0.01），并根据回归方
程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。 附： 参考数据：
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且AD=PB．
(l)求证：平面PAD ⊥平面ABCD；
(2)若AD⊥PB，求二面角D-PB-C的余弦值．
20． （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，动点M分别与两个定点A(-2，0)，B(2，0)的连线的斜率之积为
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设过点（-1，0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，判断直线x=与以线段PQ为直径的圆
的位置关系，并说明理由．
21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx -
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个零点xl，x2，求k的取值范围，并证明x1+x2>
22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为??x?2?tcos?,?3?tsin?（t为参数）．在以
?y坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8． (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且
求直线l的倾斜角．
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 己知函数f(x) =|2x-l|-a． (1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1； (2)若存在实数x，使得f(x)<
f(x+1)成立，求实数a的取值范围.
2
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A D B D A C C B D 二、填空题
13．7 14．2 15．5225 16．3R 三、解答题
17．解法1：（1）设等比数列{an}的公比为q，
因为a2?a3?4，a1a4?3，
所以???a?a21q1q?4,?a ………………………………………………2分?3 1?a1q?3.?a1?9,?解得?? 或?a11?,??q?1?3 ……………………………………………………4分 3,??q?3.因为{an}是递增的等比数列， 所以a1?13，q?3．………………………………………………………5分 所以数列{a}的通项公式为an?2nn?3．……………………………………6分
解法2：（1）设等比数列{an}的公比为q， 因为a2?a3?4，a1a4?a2a3?3，
所以a22，a3是方程x?4x?3?0的两个根．…………………………………2分 解得??a2?1,3,或??a2?3,……………………………………4分
?a3??a3?1.因为{an}是递增的等比数列，
所以a2?1，a3?3，则q?3．…………………………………5分
所以数列{aan?2n}的通项公式为n?3．……………………………6分 （2）由（1）知bn?2n?n?3．……………………………………7分
则S?1?3?1?2?30?3?31?L?n?3n?2n， ①……………………8分
在①式两边同时乘以3得，
3Sn?1?30?2?31?3?32?L?n?3n?1， ②………………9分
①-②得?2S?101n?3?3?3?L?3n?2?n?3n?1，………………………10分
11?3n即?2S?3??n?n?3n?11?3，…………………………………………11分
所以S?1n?14?2n?1??3n?112．…………………………………………12分 18．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（ⅰ）x?26?27?39?41?49?53?56?58?60?6110?47．……………………2分
nxiyi?nxy（ⅱ）r??i?113527.8?10?47?27?nn?…3分
x2i?nxi?1??2?y2i?n?y?223638?10?4727759.6?10?272i?1 ?13527.8?1269023638?220907759.6?7290?837.81548?469.6………………………………4分
?8378643?42935．……………………………………5分
因为43?6.56，2935?54.18，
所以r?0.98．……………………………………………6分
由样本相关系数r?0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………………7分
（2）因为回归方程为y??1.56?bx?，即a??1.56． 所以b??y?a?27?1.56x?47?0.54．
nni?x??yi?y??xiyi?nxy【或利用b???i?1?xi?1837.8?n?x2?i?xi?1??nx2i?ni?1?x?2?1548?0.54】…………………10分 所以y关于x的线性回归方程为y??0.54x?1.56． 将x?50代入线性回归方程得y??0.54?50?1.56?28.56．…………………………11分 所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．……………12分
19．（1）证明：取AD中点O，连结OP，OB，BD，
因为底面ABCD为菱形，?BAD?60o， 所以AD?AB?BD．
因为O为AD的中点，
P所以OB?AD．……………………………1分 在△APD中，?APD?90o， O为AD的中点，
所以PO?12AD?AO． DC设AD?PB?2a,则OB?3a，PO?OA?a， 因为PO2?OB2?a2?3a2?4a2?PB2， O所以OP?OB．………2分
AB3