第二章 平面向量

1 向量和差作图全攻略

两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.

一、向量a、b共线

例1 如图，已知共线向量a、b，求作a＋b. (1)a、b同向；

(2)a、b反向，且|a|＞|b|； (3)a、b反向，且|a|＜|b|.

→→→

作法 在与a平行的同一条直线上作出三个向量OA＝a，AB＝b，OB＝a＋b，具体作法是：当

a与b方向相同时，a＋b与a、b的方向相同，长度为|a|＋|b|；当a与b方向相反时，a＋b与a、b中长度长的向量方向相同，长度为||a|－|b||.为了直观，将三个向量中绝对值最

大的向量沿与a垂直的方向稍加平移，然后分别标上a，b，a＋b.作图如下：

例2 如图，已知共线向量a、b，求作a－b. (1)a、b同向，且|a|＞|b|； (2)a、b同向，且|a|＜|b|； (3)a、b反向.

→→→

作法 在平面上任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.事实上a－b可看作是a＋(－b)，按照这个理解和a＋b的作图方法不难作出a－b，作图如下：

二、向量a、b不共线

如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图，已知向量a、b. 求作：(1)a＋b；(2)a－b. 作法1 (应用三角形法则)

(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O.

→

第一步：作OA＝a，方法是将一个三角板的直角边与a重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O，一直角边与直尺的一边重合的位置，→→

在此基础上取|OA|＝|a|，并使OA与a同向.

→→

第二步：同第一步方法作出AB＝b，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB作成与b的方向相反.)

→→

第三步：作OB，即连接OB，在B处打上箭头，OB即为a＋b. 作图如下：

(2)第一步：在平面上a，b位置之外任取一点O； →→

第二步：依照前面方法过O作OA＝a，OB＝b； →

第三步：连接AB，在A处加上箭头，向量BA即为a－b. 作图如下：

点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”.

作法2 (应用平行四边形法则)

→

在平面上任取一点A，以点A为起点作AB＝a， →

AD＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD，则AC＝a＋b，DB＝a－b.作图如下：

→→

2

点评 向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.

向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是→→

“作法不一”，比如作法中要求的是作AB＝b，可实际上作的是AB＝－b.只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.

2 向量线性运算的应用

平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简

例1 化简下列各式： →→→→

(1)(2AB－CD)－(AC－2BD)； 1

(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]. 24→→→→

解 (1)(2AB－CD)－(AC－2BD)

→→→→→→→→＝2AB－CD－AC＋2BD＝2AB＋DC＋CA＋2BD →→→→→→→＝2(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝2AD＋DA＝AD. 1

(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)] 24

11

＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b) 242433＝－a＋b.

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点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数

→→→→→→

例2 如图，已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则

m＝________.

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