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3 参数方程和普通方程的互化
一、基础达标
??x＝|sin θ|，1.曲线?(θ为参数)的方程等价于( )
?y＝cos θ?
A.x＝1－y C.y＝±1－x
2
2B.y＝1－x D.x＋y＝1
2
2
2解析 由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A. 答案 A
??x＝2＋t，2.已知直线l：?(t为参数)与圆
??y＝－2－t??x＝2cos θ＋1，
C：?(θ为参数)，则直线??y＝2sin θl的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是( ) A.C.
π
，(1，0) 4
3π
，(1，0) 4
π
B.，(－1，0) 43π
D.，(－1，0) 4
3π
解析 直线消去参数得直线方程为y＝－x，所以斜率k＝－1即倾斜角为.圆的标准方
4程为(x－1)＋y＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C
2
2
??3.参数方程?2ty＝??1＋tA.x＋y＝1
2
2
2
2
1－tx＝2，1＋t2
2
(t为参数)化为普通方程为( )
B.x＋y＝1去掉(0，1)点 C.x＋y＝1去掉(1，0)点 D.x＋y＝1去掉(－1，0)点
2
2
2
2
?1－t2?＋?2t2?＝1，又∵x＝－1时，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去
解析 x＋y＝????
?1＋t??1＋t?
2
2
2
22
掉点(－1，0).
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答案 D
4.若x，y满足x＋y＝1，则x＋3y的最大值为( ) A.1 C.3
2
2
2
2
B.2 D.4
??x＝cos θ，
解析 由于圆x＋y＝1的参数方程为?(θ为参数)，则x＋3y＝3sin θ?y＝sin θ，?
π??＋cos θ＝2sin?θ＋?，故x＋3y的最大值为2.故选B.
6??答案 B
5.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方
??x＝t，
程为ρcos θ＝4的直线与曲线?(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________. 3
?y＝t?
2
解析 由ρcos θ＝4，知x＝4.
??x＝t，32
又?∴x＝y(x≥0). 3
??y＝t，
???x＝4，?x＝4，??x＝4，??由3得或? 2
?x＝y，??y＝8?y＝－8.??
2
∴|AB|＝（4－4）＋（8＋8）＝16. 答案 16
π??6.在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝42cos?θ－?，以极点为坐标原点，极轴为x轴
4??
??x＝－1＋acos θ，
的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程?(θ为参数)，若圆
?y＝－1＋asin θ?
22
C1
与C2相切，则实数a＝________.
解析 圆C1的直角坐标方程为x＋y＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)＋(y－2)＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆
2
2
2
2
C2外切，则|C1C2|＝22＋|a|＝32或|C1C2|＝|a|－22＝32?a＝±2或a＝±52.
答案 ±2或±52
，??t7.已知曲线C的参数方程为?(t为参数，t＞0).求曲线C的普通方程.
1??y＝3?t＋?，???t?
x＝t－
1
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解 由x＝t－
1
t12
两边平方得x＝t＋－2，
t1y?1?又y＝3?t＋?，则t＋＝(y≥6). t3?t?1y22
代入x＝t＋－2，得x＝－2.
t3∴3x－y＋6＝0(y≥6).
故曲线C的普通方程为3x－y＋6＝0(y≥6). 二、能力提升
8.已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：?
2
2
?x＝3＋3cos θ，
(θ为参数)，以
?y＝1＋3sin θ??
π?Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos?θ＋?＝0，则圆C截直线所得弦
6
?
长为( ) A.2 C.32
解析 圆C的参数方程为?
B.22 D.42
?x＝3＋3cos θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程
y＝1＋3sin θ?
ππ?31?为ρ?cos θcos －sin θsin ?＝x－y＝0，即3x－y＝0，圆心C(3，1)到直
66?22?|（3）－1|22线3x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2r－d＝
3＋123－1＝42. 答案 D
??x＝4＋2cos α，
9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆?相切，则θ＝________.
?y＝2sin α?
2
2
2
解析 直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)＋y＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±π5π
∴θ＝或.
66答案
π5π或 66
22
3
，3
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