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赋值出现矛盾。所以,((p→q)∧(﹁q→﹁r)∧(r→s)∧(s→p)∧((﹁r∨﹁p)→(﹁q∨﹁s))∧﹁r)→(﹁p∨﹁s)是重言式,即 (p→q)∧(﹁q→﹁r)∧(r→s)∧(s→p)∧((﹁r∨﹁p)→(﹁q∨﹁s))∧﹁r├﹁p∨﹁s是有效推理。

(四)运用真值表法解答下列问题

1.请列出下列ABC三个命题的真值表,并回答ABC均真时,甲、乙是否去北京。

A:只有甲去北京,乙才去北京。 B:如果甲去北京,那么乙也去北京。 C:甲不去北京或乙不去北京。

解:设p表示甲去北京,q表示乙去北京。则上述三个命题可以分别符号化为:

A:p←q B:p→q C:﹁p∨﹁q 做它们的真值表: p q 1 1 1 0 0 1 0 0 ﹁p 0 0 1 1 ﹁q 0 1 0 1 p←q 1 1 0 1 p→q 1 0 1 1 ﹁p∨﹁q 0 1 1 1 从真值表可以看出,当当ABC均真时,甲和乙都不去北京。 2.列出ABC三个命题的真值表,并回答:当ABC中恰有两假时,能否断定甲村所有人家有彩电、能够断定乙村有些人家没有彩电吗?

A:只有甲村有些人家没有彩电,乙村所有人家才有彩电。 B:甲村所有人家有彩电,并且乙村所有人家有彩电。 C:甲村所有人家有彩电,或者乙村所有人家有彩电。

解:设p表示甲村有些人家没有彩电,q表示甲村所有人家才有彩电,r表示乙村所有人家

才有彩电。则上述三个命题可以分别符号化为:

A:p←q B:p∧q C:p∨r

做它们的真值表:

p q r p←q 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

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p∧q 1 1 0 0 0 0 0 0 p∨r 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 当ABC中恰有两假时,可以断定并非甲村所有人家都有彩电,但不能断定乙村有些人家没有彩电。

3.甲、乙、丙三位领导发表下列意见。请用真值表解答:是否有同时满足甲、乙、丙的意见的方案。

甲:如果小张去黄山,那么小刘也去黄山。 乙:只有小张去黄山,小刘才去黄山。 丙:小张去黄山,或者小刘去黄山。

解:设p表示小张去黄山,q表示小刘去黄山。则上述三个命题可以分别符号化为:

甲:p→q 乙:p←q 丙:p∨q 做它们的真值表: p q 1 1 1 0 0 1 0 0 p→q 1 0 1 1 p←q 1 1 0 1 p∨q 1 1 1 0 显然,有能够同时满足甲乙丙三人意见的方案,即小张和小刘都去黄山。

五、证明题

(一)利用给出的符号或变项为下面的论证构造形式证明。 1.如果日用品短缺日益严重(p),则物价上涨(q)。如果财政部门改组(r),则财政管制将不再继续(﹁s)。如果通货膨胀的威胁继续存在(t),则财政管制将继续下去。如果生产过剩(u),则物价不会上涨。或者生产过剩,或者财政部门改组。因而,或者日用品短缺不再继续发展,或者通货膨胀的威胁不再继续存在。 证明:⑴ p→q 已知

⑵ r→﹁s 已知 ⑶ t→s 已知 ⑷ u→﹁q 已知 ⑸ u∨r 已知 ⑹ q→﹁u ⑷,假言易位推理 ⑺ p→﹁u ⑴、⑹,条件三段论 ⑻ u→﹁p ⑺,假言易位推理 ⑼﹁s→﹁t ⑶,假言易位推理 ⑽ r→﹁t ⑵、⑼,条件三段论 ⑾ ﹁p∨﹁t ⑸、⑻、⑽,二难推理的复杂构成式 即(p→q)∧(r→﹁s)∧(t→s)∧(u→﹁q)∧(u∨r)├﹁p∨﹁t。 2.如果石油供应保持现状(A)而石油消耗量增加(B),则石油会涨价(C)。如果石油消耗量增加导致石油涨价,则国家要实行石油配给制(D)。石油供应保持现状。因而,国家要实行石油配给制。

证明:⑴ (A∧B)→C 已知

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⑵ (B→C)→D 已知 ⑶ A 已知 ⑷ ﹁(A∧B)∨C ⑴,等值命题 ⑸ ﹁A∨﹁B∨C ⑷,德摩根定律 ⑹ (﹁B∨C)→D ⑵,等值命题 ⑺ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑹,条件附加律 ⑻ D ⑸、⑺,充分条件推理的肯定前件式 即((A∧B)→C)∧((B→C)→D)∧A├ D。

注意:(1)p→q=﹁p∨q。

(2)p→(p∨q)叫做析取附加律,其直观含义是:如果p成立,那么p∨q也成

立。

(3)条件附加律(p→q)→((p∨r)→q)的直观解释是,如果p蕴涵q,那么给p

附加一个条件后,它们仍然蕴涵q。条件附加律可以视为析取附加律的一种扩展。

可见,教材介绍的自然推理方法并不够用。当然,它的不足够性不仅仅反映在这一个地方。

3.如果宣战是一个正确的战略行动(D),则或者已有50个师做好战斗准备(F),或者已有20个远程轰炸机联队准备好发动攻击(T)。然而,并没有50个师已做好战斗准备。因而,如果20个远程轰炸机联队尚未准备好发动攻击,则宣战不是一个正确的战略行动,或者有新的武器可用(S)。

证明:⑴ D→(F∨T) 已知

⑵ ﹁F 已知 ⑶ ﹁T 假设 ⑷ ﹁(F∨T)→﹁D ⑴,假言易位推理 ⑸ (﹁F∧﹁T)→﹁D ⑷,德摩根定律 ⑹ ﹁F∧﹁T ⑵、⑶,联言推理的组合式 ⑺ ﹁D ⑸、⑹,充分条件推理的肯定前件式 ⑻ ﹁D∨S ⑺,析取附加式 ⑼﹁T→(﹁D∨S) ⑶、⑻,→引入 即(D→(F∨T))∧﹁F├﹁T→(﹁D∨S)。

注意,在自然推理系统中,如果需要,可以随时引入→,用上面的公式蕴涵下面的公式,

但反之则不然,即不能用下面的公式蕴涵上面的公式。

(二)用自然推理的方法证明下述推理的有效性。

1.①(A∧B)→(A→D∧E),②(A∧B∧C)。所以,D∨E。

证明:⑴ (A∧B)→(A→D∧E) 已知

⑵ A∧B∧C 已知 ⑶ A∧B ⑵,联言推理的分解式 ⑷ A ⑶,联言推理的分解式 ⑸ A→D∧E ⑴、⑶,充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D∧E ⑷、⑸,充分条件推理的肯定前件式 ⑺ D ⑹,联言推理的分解式

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⑻ D∨E ⑺,析取附加式

2.①E→F∧﹁G,②F∨G→H,③E。所以,H。

证明:⑴ E→F∧﹁G 已知

⑵ F∨G→H 已知 ⑶ E 已知 ⑷ F∧﹁G ⑴、⑶,充分条件推理的肯定前件式 ⑸ F ⑷,联言推理的分解式 ⑹ F∨G ⑸,析取附加律 ⑺ H ⑵,⑹,充分条件推理的肯定前件式

3.①M→N,②N→O,③ (M→O)→(N→P),④(M→P)→Q。所以,Q。

证明:⑴ M→N 已知

⑵ N→O 已知 ⑶ (M→O)→(N→P) 已知 ⑷ (M→P)→Q 已知 ⑸ M→O ⑴、⑵,条件三段论 ⑹ N→P ⑶、⑸,充分条件推理的肯定前件式 ⑺ M→P ⑴、⑹,条件三段论 ⑻ Q ⑷、⑺,充分条件推理的肯定前件式

4.①A→B,②B→C,③ C→D,④(A→D)→(B→A),⑤﹁A。所以,﹁B。

证明:⑴ A→B 已知

⑵ B→C 已知 ⑶ C→D 已知 ⑷ (A→D)→(B→A) 已知 ⑸ ﹁A 已知 ⑹ A→C ⑴、⑵,条件三段论 ⑺ A→D ⑶、⑹,条件三段论 ⑻ B→A ⑷、⑺,充分条件推理的肯定前件式 ⑼ ﹁B ⑸、⑻,充分条件推理的否定后件式

5.A∨B→(C∨D→E)。所以,A→(C∧D→E)。

证明:⑴ A∨B→(C∨D→E) 已知

⑵ A 假设 ⑶ C∧D 假设 ⑷ A∨B ⑵,析取附加律 ⑸ C∨D→E ⑴、⑷,充分条件推理的肯定前件式 ⑹ C ⑶,联言推理的分解式 ⑺ C∨D ⑹,析取附加律 ⑻ E ⑸、⑺,充分条件推理的肯定前件式 ⑼ C∧D→E ⑶、⑻,→引入 ⑽ A→(C∧D→E) ⑵、⑼,→引入

6.①A∨B→C∧D,②D∨E→F。所以,A→F。

证明:⑴ A∨B→C∧D 已知

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⑵ D∨E→F 已知 ⑶ A 假设 ⑷ A∨B ⑶,析取附加律 ⑸ C∧D ⑴、⑷,充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D ⑶,联言推理的分解式 ⑺ D∨E ⑹,析取附加律 ⑻ F ⑵、⑺,充分条件推理的肯定前件式 ⑼ A→F ⑶、⑻,→引入

7.①A∧B→C,②(A→C)→D,③﹁B∨E。所以,B→D∧E

证明:⑴ A∧B→C 已知

⑵ (A→C)→D 已知 ⑶ ﹁B∨E 已知 ⑷ B 假设 ⑸ E ⑶、⑷,选言推理的否定肯定式 ⑹ ﹁(A∧B)∨C ⑴,等值命题 ⑺ ﹁A∨﹁B∨C ⑹,德摩根定律 ⑻ (﹁A∨C)→D ⑵,等值命题 ⑼ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑻,条件附加律 ⑽ D ⑺、⑼,充分条件推理的肯定前件式 ⑾ D∧E ⑸、⑽,联言推理的组合式 ⑿ B→D∧E ⑷、⑾,→引入

8.①A∨(B∧C),②(A→D)∧(D→C)。所以,C。

证明:⑴ A∨(B∧C) 已知

⑵ (A→D)∧(D→C) 已知 ⑶ A→C ⑵,条件三段论 ⑷ A∨(B∧C)→C ⑶,条件附加律 ⑸ C ⑴、⑷,充分条件推理的肯定前件式

第七章 谓词逻辑初步

一、填空题

1.关系词项“包庇”在直接关系推理中表现为(非对称)性,在间接关系推理中表现为(非传递)性。

2.如果关系R是反传递性的,则由aRb和bRc为前提,可推出(﹁(aRc))。

3.在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中,属于传递性关系的是(真包含关系),属于反对称性关系的是(真包含关系)。

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