赋值出现矛盾。所以，((p→q)∧(﹁q→﹁r)∧(r→s)∧(s→p)∧((﹁r∨﹁p)→(﹁q∨﹁s))∧﹁r)→(﹁p∨﹁s)是重言式，即 (p→q)∧(﹁q→﹁r)∧(r→s)∧(s→p)∧((﹁r∨﹁p)→(﹁q∨﹁s))∧﹁r├﹁p∨﹁s是有效推理。

（四）运用真值表法解答下列问题

1．请列出下列ABC三个命题的真值表，并回答ABC均真时，甲、乙是否去北京。

A：只有甲去北京，乙才去北京。 B：如果甲去北京，那么乙也去北京。 C：甲不去北京或乙不去北京。

解：设p表示甲去北京，q表示乙去北京。则上述三个命题可以分别符号化为：

A：p←q B：p→q C：﹁p∨﹁q 做它们的真值表： p q 1 1 1 0 0 1 0 0 ﹁p 0 0 1 1 ﹁q 0 1 0 1 p←q 1 1 0 1 p→q 1 0 1 1 ﹁p∨﹁q 0 1 1 1 从真值表可以看出，当当ABC均真时，甲和乙都不去北京。 2．列出ABC三个命题的真值表，并回答：当ABC中恰有两假时，能否断定甲村所有人家有彩电、能够断定乙村有些人家没有彩电吗？

A：只有甲村有些人家没有彩电，乙村所有人家才有彩电。 B：甲村所有人家有彩电，并且乙村所有人家有彩电。 C：甲村所有人家有彩电，或者乙村所有人家有彩电。

解：设p表示甲村有些人家没有彩电，q表示甲村所有人家才有彩电，r表示乙村所有人家

才有彩电。则上述三个命题可以分别符号化为：

A：p←q B：p∧q C：p∨r

做它们的真值表：

p q r p←q 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

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p∧q 1 1 0 0 0 0 0 0 p∨r 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 当ABC中恰有两假时，可以断定并非甲村所有人家都有彩电，但不能断定乙村有些人家没有彩电。

3．甲、乙、丙三位领导发表下列意见。请用真值表解答：是否有同时满足甲、乙、丙的意见的方案。

甲：如果小张去黄山，那么小刘也去黄山。 乙：只有小张去黄山，小刘才去黄山。 丙：小张去黄山，或者小刘去黄山。

解：设p表示小张去黄山，q表示小刘去黄山。则上述三个命题可以分别符号化为：

甲：p→q 乙：p←q 丙：p∨q 做它们的真值表： p q 1 1 1 0 0 1 0 0 p→q 1 0 1 1 p←q 1 1 0 1 p∨q 1 1 1 0 显然，有能够同时满足甲乙丙三人意见的方案，即小张和小刘都去黄山。

五、证明题

（一）利用给出的符号或变项为下面的论证构造形式证明。 1．如果日用品短缺日益严重（p），则物价上涨（q）。如果财政部门改组（r），则财政管制将不再继续（﹁s）。如果通货膨胀的威胁继续存在（t），则财政管制将继续下去。如果生产过剩（u），则物价不会上涨。或者生产过剩，或者财政部门改组。因而，或者日用品短缺不再继续发展，或者通货膨胀的威胁不再继续存在。 证明：⑴ p→q 已知

⑵ r→﹁s 已知 ⑶ t→s 已知 ⑷ u→﹁q 已知 ⑸ u∨r 已知 ⑹ q→﹁u ⑷，假言易位推理 ⑺ p→﹁u ⑴、⑹，条件三段论 ⑻ u→﹁p ⑺，假言易位推理 ⑼﹁s→﹁t ⑶，假言易位推理 ⑽ r→﹁t ⑵、⑼，条件三段论 ⑾ ﹁p∨﹁t ⑸、⑻、⑽，二难推理的复杂构成式 即(p→q)∧(r→﹁s)∧(t→s)∧(u→﹁q)∧(u∨r)├﹁p∨﹁t。 2．如果石油供应保持现状（A）而石油消耗量增加（B），则石油会涨价（C）。如果石油消耗量增加导致石油涨价，则国家要实行石油配给制（D）。石油供应保持现状。因而，国家要实行石油配给制。

证明：⑴ (A∧B)→C 已知

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⑵ (B→C)→D 已知 ⑶ A 已知 ⑷ ﹁(A∧B)∨C ⑴，等值命题 ⑸ ﹁A∨﹁B∨C ⑷，德摩根定律 ⑹ (﹁B∨C)→D ⑵，等值命题 ⑺ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑹，条件附加律 ⑻ D ⑸、⑺，充分条件推理的肯定前件式 即((A∧B)→C)∧((B→C)→D)∧A├ D。

注意：（1）p→q=﹁p∨q。

（2）p→(p∨q)叫做析取附加律，其直观含义是：如果p成立，那么p∨q也成

立。

（3）条件附加律(p→q)→((p∨r)→q)的直观解释是，如果p蕴涵q，那么给p

附加一个条件后，它们仍然蕴涵q。条件附加律可以视为析取附加律的一种扩展。

可见，教材介绍的自然推理方法并不够用。当然，它的不足够性不仅仅反映在这一个地方。

3．如果宣战是一个正确的战略行动（D），则或者已有50个师做好战斗准备（F），或者已有20个远程轰炸机联队准备好发动攻击（T）。然而，并没有50个师已做好战斗准备。因而，如果20个远程轰炸机联队尚未准备好发动攻击，则宣战不是一个正确的战略行动，或者有新的武器可用（S）。

证明：⑴ D→(F∨T) 已知

⑵ ﹁F 已知 ⑶ ﹁T 假设 ⑷ ﹁(F∨T)→﹁D ⑴，假言易位推理 ⑸ (﹁F∧﹁T)→﹁D ⑷，德摩根定律 ⑹ ﹁F∧﹁T ⑵、⑶，联言推理的组合式 ⑺ ﹁D ⑸、⑹，充分条件推理的肯定前件式 ⑻ ﹁D∨S ⑺，析取附加式 ⑼﹁T→(﹁D∨S) ⑶、⑻，→引入 即(D→(F∨T))∧﹁F├﹁T→(﹁D∨S)。

注意，在自然推理系统中，如果需要，可以随时引入→，用上面的公式蕴涵下面的公式，

但反之则不然，即不能用下面的公式蕴涵上面的公式。

（二）用自然推理的方法证明下述推理的有效性。

1．①(A∧B)→(A→D∧E)，②(A∧B∧C)。所以，D∨E。

证明：⑴ (A∧B)→(A→D∧E) 已知

⑵ A∧B∧C 已知 ⑶ A∧B ⑵，联言推理的分解式 ⑷ A ⑶，联言推理的分解式 ⑸ A→D∧E ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D∧E ⑷、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ D ⑹，联言推理的分解式

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⑻ D∨E ⑺，析取附加式

2．①E→F∧﹁G，②F∨G→H，③E。所以，H。

证明：⑴ E→F∧﹁G 已知

⑵ F∨G→H 已知 ⑶ E 已知 ⑷ F∧﹁G ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑸ F ⑷，联言推理的分解式 ⑹ F∨G ⑸，析取附加律 ⑺ H ⑵，⑹，充分条件推理的肯定前件式

3．①M→N，②N→O，③ (M→O)→(N→P)，④(M→P)→Q。所以，Q。

证明：⑴ M→N 已知

⑵ N→O 已知 ⑶ (M→O)→(N→P) 已知 ⑷ (M→P)→Q 已知 ⑸ M→O ⑴、⑵，条件三段论 ⑹ N→P ⑶、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ M→P ⑴、⑹，条件三段论 ⑻ Q ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式

4．①A→B，②B→C，③ C→D，④(A→D)→(B→A)，⑤﹁A。所以，﹁B。

证明：⑴ A→B 已知

⑵ B→C 已知 ⑶ C→D 已知 ⑷ (A→D)→(B→A) 已知 ⑸ ﹁A 已知 ⑹ A→C ⑴、⑵，条件三段论 ⑺ A→D ⑶、⑹，条件三段论 ⑻ B→A ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ ﹁B ⑸、⑻，充分条件推理的否定后件式

5．A∨B→(C∨D→E)。所以，A→(C∧D→E)。

证明：⑴ A∨B→(C∨D→E) 已知

⑵ A 假设 ⑶ C∧D 假设 ⑷ A∨B ⑵，析取附加律 ⑸ C∨D→E ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ C ⑶，联言推理的分解式 ⑺ C∨D ⑹，析取附加律 ⑻ E ⑸、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ C∧D→E ⑶、⑻，→引入 ⑽ A→(C∧D→E) ⑵、⑼，→引入

6．①A∨B→C∧D，②D∨E→F。所以，A→F。

证明：⑴ A∨B→C∧D 已知

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⑵ D∨E→F 已知 ⑶ A 假设 ⑷ A∨B ⑶，析取附加律 ⑸ C∧D ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D ⑶，联言推理的分解式 ⑺ D∨E ⑹，析取附加律 ⑻ F ⑵、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ A→F ⑶、⑻，→引入

7．①A∧B→C，②(A→C)→D，③﹁B∨E。所以，B→D∧E

证明：⑴ A∧B→C 已知

⑵ (A→C)→D 已知 ⑶ ﹁B∨E 已知 ⑷ B 假设 ⑸ E ⑶、⑷，选言推理的否定肯定式 ⑹ ﹁(A∧B)∨C ⑴，等值命题 ⑺ ﹁A∨﹁B∨C ⑹，德摩根定律 ⑻ (﹁A∨C)→D ⑵，等值命题 ⑼ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑻，条件附加律 ⑽ D ⑺、⑼，充分条件推理的肯定前件式 ⑾ D∧E ⑸、⑽，联言推理的组合式 ⑿ B→D∧E ⑷、⑾，→引入

8．①A∨(B∧C)，②(A→D)∧(D→C)。所以，C。

证明：⑴ A∨(B∧C) 已知

⑵ (A→D)∧(D→C) 已知 ⑶ A→C ⑵，条件三段论 ⑷ A∨(B∧C)→C ⑶，条件附加律 ⑸ C ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式

第七章 谓词逻辑初步

一、填空题

1．关系词项“包庇”在直接关系推理中表现为（非对称）性，在间接关系推理中表现为（非传递）性。

2．如果关系R是反传递性的，则由aRb和bRc为前提，可推出（﹁(aRc)）。

3．在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中，属于传递性关系的是（真包含关系），属于反对称性关系的是（真包含关系）。

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