数列的求和问题 【学习目标】 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式； 3．熟练掌握求数列的前n项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和. 【要点梳理】 要点一、数列的前n项和Sn的相关公式 任意数列的第n项an与前n项和Sn之间的关系式： (n?1)?S1an?? ?Sn?Sn?1(n?2)等差数列的前n项和Sn公式： Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d?An2?Bn（A、B为常数） 22当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0； 当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式. 等比数列的前n项和Sn公式： 当q?1时，an?a1，Sn?a1?a2?a3??an?na1， a1(1?qn)a?anq当q?1时，Sn?或Sn?1 1?q1?q要点诠释：等比数列的求和中若q的范围不确定，要特别注意q?1的情况. 要点二、求数列的前n项和的几种常用方法 公式法： 如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n项和可直接利用等差数列或等比数列的前n项和公式求和； 倒序相加法： 等差数列前n项和的推导方法，即将Sn倒写 后再与Sn相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和. 裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为an?常见的拆项公式： ①1的数列求和. n(n?1)1111??(?)； n(n?k)knn?k1111?(?)； an?an?1danan?1②若{an}为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则③若{an}的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则an?1111?(?). (An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C1n?1?n?n?1?n；1n?k?n?1(n?k?n). k④分解求和与并项求和法： 把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和. 错位相减法： 如果一个数列?an?的通项是由一个非常数列的等差数列?bn?与等比数列?cn?的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为an?bn?cn（其中?bn?是公差d≠0的等差数列，?cn?是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的n数列求前n项和Sn.例如对通项公式为an?(2n?1)?2的数列求和. 一般步骤： Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn，则 qSn?b1c2????bn?1cn?bncn?1 所以有(1?q)Sn?b1c1?(c2?c3???cn)d?bncn?1 要点诠释： ①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前n项和； ②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立. 要点三、掌握一些常见数列的前n项和公式 1. 1?2?3????n?2. 1?3?5?n(n?1)； 2?(2n?1)?n2 3. 12?22?32????n2?n(n?1)(2n?1)； 6要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便. 【典型例题】 类型一：公式法 例1设数列?an?的通项为an?2n?7(n?N*),则|a1|?|a2|?……+|a15|= 【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。 【答案】????【解析】由an?0,得n?,取n?4,?则?72|a1|?|a2|?……+|a15| =?(a1?a2?a3)?(a4?a5?……+a15)?(1?3?5)?(1?3?5?……+23）1=9+（1+23）?12=153. 2【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看an的符号??举一反三： 【变式】已知?an?是首项为1的等比数列，Sn是?an?的前n项和，且9S3?S6,则数列?1???的前5项和为 ?an?【答案】31 16【解析】由题意知，显然q?1 ∵9(a1?a2?a3)?a1?a2?a3?a4?a5?a6, ∴8(a1?a2?a3)?a4?a5?a6,