第3章 二元关系练习题

一、 单项选择题

1. 设集合A＝{0,b},B={1,b,3},则AB上的恒等关系是 ( ). (A) {<0,0>,<1,1>,<3,3>} (B){<0,0>,<1,1>,,<3,3>} (C) {<1,1>,,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,b>,<3,0>}

?010??，那么R＝( )，2. 已知集合A＝{a,b,c}上的二元关系R的关系矩阵MR＝? 110????100?? (A) {,,,} (B) {,,,}

(C) {,,,} (D) {,,,}

3. 设集合A={1,2,3,4}, A上的二元关系R的关系矩阵为

?1?1MR＝??0??0000001001?0?? 0??0?则关系R的表达式是( )

(A) {<1,1>,<1,4>,<2,1>,<2,3>} (B) {<1,1>,<1,2>,<1,4>,<2,3>}

(C) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,4>} (D) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,1>} 4. 设A={a，b，c}，R={，}，则R具有性质（ ）

(A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的

5. 设R是集合A上的二元关系，IA是A上的恒等关系，如果R?IA，则下面四个命题中为真的是（ ）

(A) R不是自反的 (B) R不是传递的 (C) R不是对称的 (D) R不是反对称的 二、填空题

1. 设R，S都是集合A上的等价关系，则对称闭包s(RS)= 2. 如果关系R是传递的，则R?R? ．

3. 设集合A={1,2,3,4 }, B={6,8,12}, A到B的关系R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B},那么R1＝

4. 设X＝{a,b,c}，R是X上的二元关系，其关系矩阵为

－

?101??? MR＝?100?，那么R的关系图为 ． ??100??5. 设A={1,2,3,4}，A上的二元关系R?{?x,y?x?y试用?Z},其中Z是整数集合．

3列举法那么R＝ ．

三、解答化简计算题

1. 设集合A＝{a,b,c,d}，在A上定义二元关系 R＝{,,,,,,,}

R是否为等价关系，说明理由.

2. 设R是实数集，R上的二元关系S为 S＝{x,yRx=y}

试问二元关系S具有哪些性质？简单说明理由．

3. 设A＝{1,2},B={a,b},试问从A到B的二元关系有多少个? 4. 设集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}上的偏序关系R如下：

R＝{<0,1>,<0,2>，<0,3>,<0,4>,<0,5>,<0,6>,<4,6>,<2,5>,<3,5>}IA

做偏序集的哈斯图，并求B={0,2,3}的极大元、极小元、最大元和最小元．

5. 设集合A={0,1,2,3,4}，定义A上的二元关系R为： R＝{x,yA(x=yx+yA)}

试写出二元关系R的集合表达式，并指出R具有的性质．

6. 已知集合A上的二元关系R的关系图如图4－1，试写出R的集合表达式和R的关系矩阵．并指出R所有的性质． 0 ? ?2

1? 图4－1

7. 设集合A＝{1,2,3,4}, B＝{2,4,6} 从A到B的二元关系R定义为

R＝{?x,y?x?A?y?B?y?k?k?N} x试求R的集合表达式和关系矩阵MR.

8. 设R1是A1＝{1,2}到A2＝(a,b,c)的二元关系，R2是A2到A3＝{?,?}的二元关系， R1= {<1,a>,<1,b>,<2,c>}, R2={,} 试用关系矩阵求R1R2的集合表达式.

9. 设集合X＝{a,b,c,d},X上的二元关系R的关系图如图4－2所示． 试写出R的表达式和关系矩阵．

a ?d

b? ?c 图4－2

10. 设集合S＝{1,2,3,4},定义S上的二元关系

R?{?x,y?x,y?S?(x?y)2?S?x?y}xT?{?x,y?x,y?S?是素数}

y试求R，T的元素表达式，并计算RT．

四、证明题

1. 证明如果非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，则R?S也是A上的偏序关系．

2. 设R是集合A上的二元关系，试证明R是自反的当且仅当IA?R．

－

3. 假设R是非空集合A上的等价关系，证明R的逆关系R1也是A上的等价关系．