2009年高考文科数学试题【新课标全国卷】

（2）证明：CE平分?DEF。

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线C?cost,1：??x??4?3?sint, （t为参数）， C?x?8cos?,2：?（?为参数）。

?y?y?3sin?,（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t??2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线 C?x?3?2t,3:??y??2?t （t为参数）距离的最小值。 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C到B距离的6倍的和. （1）将y表示为x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

参考答案

一、选择题

（1）D （2）C （3）C （4）A （5）B (6)B （7）A （8）C （9）D （10）B （11）A (12)C 二、填空题

(13) y?3x?1 (14)y2?4x (15)

152 (16)0 三、解答题

(17) 解：作DM//AC交BE于N，交CF于M．

DF?MF2?DM2?302?1702?10198， DE?DN2?EN2?502?1202?130，

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EF?(BE?FC)2?BC2?902?1202?150． ．．．．．．6分

在?DEF中，由余弦定理，

DE2?EF2?DF21302?1502?102?29816cos?DEF???. ．．．．．．12分

2DE?EF2?130?15065（18）解：

?PAC??PBC?90?, （Ⅰ）因为?PAB是等边三角形，

所以Rt?PBC?Rt?PAC,可得AC?BC。 如图，取AB中点D，连结PD,CD,

则PD?AB,CD?AB, 所以AB?平面PDC, 所以AB?PC。 ．．．．．．6分 （Ⅱ）作BE?PC，垂足为E，连结AE． 因为

Rt?PBC?Rt?PAC， 所以AE?PC，AE?BE．

由已知，平面PAC?平面PBC，故?AEB?90?． ．．．．．．8分 因为Rt?AEB?Rt?PEB，所以?AEB,?PEB,?CEB都是等腰直角三角形。 由已知PC?4，得AE?BE?2， ?AEB的面积S?2． 因为PC?平面AEB， 所以三角锥P?ABC的体积

18V??S?PC? ．．．．．．．12分

33

（19）解：

（Ⅰ）A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分 （Ⅱ）(ⅰ)由4?8?x?5?3?25，得x?5， 6?y?36?18?75，得y?15。 频率分布直方图如下

．．．．．．8分

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从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9分

48553?105??115??125??135??145?123， 25252525256153618?115??125??135??145?，1 33.8 xB?757575752575?123??133.8?1 31.1 x?100100 （ii） xA?A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.

（20）解：

（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得

?a?c?1x2y2??1. 解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为?167?a?c?7x2?y12（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,y1),其中x???4,4?.由已知得 2?e2. 2x?y而e?32，故16(x2?y1)?9(x2?y2). ① 421112?x72, 由点P在椭圆C上得 y?16代入①式并化简得9y?112,所以点M的轨迹方程为y??平行于x轴的线段······················································12分 （21）解：

'2（Ⅰ）当a=1时，对函数f(x)求导数，得f(x)?3x?6x?9.

247(?4?x?4),轨迹是两条3令 f'(x)?0,解得x1??1,x2?3. 列表讨论f(x),f(x)的变化情况：

'x f'(x) (??,?1) + ?1 0 极大值6 （-1，3） — 3 0 极小值-26 (3,??) + f(x) - 8 -

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所以，f(x)的极大值是f(?1)?6，极小值是f(3)??26.

（Ⅱ）f'(x)?3x2?6ax?9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 若

14?a?1,则f'(x)在[1,4a]上是增函数，从而 f'(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1)?3?6a?9a2,最大值是f'(4a)?15a2.

由|f'(x)|?12a,得?12a?3x2?6ax?9a2?12a,于是有

f'(1)?3?6a?9a2??12a,且f'(4a)?15a2?12a.

由f'(1)??12a得?13?a?1,由f'(4a)?12a得0?a?45. 所以a?(14,1][?13,1][0,45],即a?(144,5].

若a>1,则|f'(a)|?12a2?12a.故当x?[1,4a]时|f'(x)|?12a不恒成立.

所以使|f'(x)|?12a(x?[1,4a])恒成立的a的取值范围是(1,445].

（22）解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°， 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为

AD,CE

是角平分线， 所以

∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120° ，于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。

（Ⅱ）连结BH，则BH为?ABC的平分线，得?HBD?30° 由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆， 所以?CED??HBD?30°

又?AHE??EBD?60°，由已知可得EF?AD，可得?CEF?30° 所以CE平分?DEF

（23）解：（Ⅰ）C22Cx2y21:(x?4)?(y?3)?1,2:64?9?1 C1为圆心是(?4,3)，半径是1的圆。

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

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（Ⅱ）当t??3时，P(?4,4).Q(8cos?,3sin?)，故M(?2?4cos?,2?sin?) 225|4cos??3sin??13| 5C3为直线x?2y?7?0，M到C3的距离d?从而当cos??（24）解：

4385,sin???时，d取得最小值 555（Ⅰ）y?4|x?10|?6|x?20|,0?x?30（Ⅱ）依题意，x满足

?4|x?10|?6|x?20|?70,解不等式组，其解集为[9,23]，所以 x?[9,23] ?0?x?30?- 10 -