2．函数与导数
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 1[问题1] 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是________________．
1－x答案 (－1,1)∪(1，＋∞)
2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
?－2ax＋3a，x<1，??[问题2] 已知函数f(x)＝
?ln x，x≥1?
的值域为R，那么a的取值范围是
( )
A．(－∞，－1] 1
C．[－1，) 2答案 C
解析 要使函数f(x)的值域为R，
??1－2a>0，需使?
?ln 1≤1－2a＋3a，?
1
B．(－1，)
21
D．(0，)
2
1??a<，
所以?2
??a≥－1.
1
所以－1≤a<.
2
3．求函数最值(值域)常用的方法
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．
2
[问题3] 函数y＝x(x≥0)的值域为________．
2＋1
x
?1?答案 ?，1? ?2?
解析 方法一 ∵x≥0，∴2≥1，∴≥1，
1－y1?1?解得≤y<1.∴其值域为y∈?，1?. 2?2?方法二 y＝1－
111
，∵x≥0，∴0 xxy?1?∴y∈?，1?. ?2? 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响． －x[问题4] f(x)＝是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． |x－2|－2答案 奇 ??1－x>0， 解析 由? ?|x－2|－2≠0? 2 2 得定义域为(－1,0)∪(0,1)， －xf(x)＝＝－x－－2 2 －x－x2 . ∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数． 5．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0. “f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件． [问题5] 设f(x)＝lg? ?2＋a?是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( ) ? ?1－x? A．(－∞，＋∞)上的减函数 B．(－∞，＋∞)上的增函数 C．(－1,1)上的减函数 D．(－1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0， 解得a＝－1， 1＋x故f(x)＝lg ，函数f(x)的定义域是(－1,1)， 1－x1＋x在此定义域内f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)， 1－x函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D. 6．判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察． (2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题． (3)对于解析式较复杂的，一般用导数． (4)对于抽象函数，一般用定义法． [问题6] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________________． 答案 [0,1)，[2，＋∞) 解析 ∵y＝ ??|log2? ?|log2? x－ －xxx， ， 作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)． 7．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝ 1 fx(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a. [问题7] 设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝ ??4x－2，－2≤x≤0，? ?x，0 2 5 则f()＝________. 2 答案 －1 8．函数图象的几种常见变换 (1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”． (2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)． (3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；