第六章 刚体力学

6—1 质量为M、长为l的均匀细杆，静止于光滑的水平面上，可绕过杆中点0的固

定竖直轴自由转动。一质量为m的子弹以v0的速度沿垂直于杆的方向射来，嵌入杆的端点A，求子弹嵌入杆后的角速度。

解1 在子弹与杆端A碰撞的?t时间内，杆受到的平均冲力为f，根据转动定律，得到杆

的角加速度?， fl?J? 2在发生相互作用的时间?t内，杆得到角速度

????t?lf?t (1) 2J子弹受到反方向的冲力f，也得到与v0反方向的加速度a。，而有 f?ma

在时间?t内子弹的动量变化： ?f?t?mv?mv0 但子弹在嵌入杆端A后与杆一起运动，应有 v???l 2由此得 f?t?mv0?m??l (2) 2llm?v0m?v022?代入(1)得 ?? 22ml1mlJ?Ml2?4124 解2 考虑子弹和杆组成的系统，在过程中系统只受轴承上的外力作用，故系统对0点的

角动量守恒，于是有

2l??l?? mv0???J?m????,2??2??????mv0l/2 2J?ml/4 结果相同。值得注意的是，在子弹与杆相互作用的过程中，因为存在外力的作用，系统的动量是不守恒的。

6—2 以速度v0作匀速直线运动的汽车上，有一质量为m(m较小)、边长为l的立方体货箱，如图5—21(a)所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货箱绕其底面的A边翻转。试求：(1)汽车刹车停止瞬时，货箱翻转的角速度及角加速度；(2)此时，货箱A边所受的支承反力

解 (1)汽车突然刹车并立即停止，由于惯性的作用，货箱必然绕垂直于纸面的A轴转动，亦即货箱的运动在瞬间由平动变为转动(图5—21(b))。此瞬间货箱受到的重力及地面支承力对A轴的冲量矩可忽略不计，货箱对A轴的角动量守恒： mv0?l?JA? 2等式左项为刹车前瞬时货箱对A轴的平动角动量，右项中JA为货箱对A轴的转动惯量，根据平行轴定理，有

?2?212??2ml2 JA?Jc?m?CA?ml?m?l?2?63????2代入解得货箱翻转时的角速度 ??3v0。 4l 货箱翻转瞬时，只受重力矩作用，根据转动定律，有 mgl?JA? 2mg?解得 ??llmg?2?2?3g

224lJAml3 (2)汽车刹车后停止瞬时，货箱以角速度叫绕A轴转动。此时，质心加速度的切向和法向分量分别为 aCt232?l???g,28acn2292v02?l??? 232l根据质心运动定理，取如图的坐标，有

?Nx?maCx?maCncos450?maCtcos450Ny?mg?maCy??maCncos45?maCtcos4500。

解得货箱A边受到的支承反力

2?9v03?? Nx??m??g??,32l8??2?5?9v0?? Ny?m?g?32l??8?

6—3 一半径为R的轮子在水平面上以角速度?作纯滚动(无滑动的滚动)。(1)求轮缘上一点P的运动轨迹；(2)求P点的速度和加速度；(3)求轨迹线最高点处的曲率半径。 解 取轮缘上P点与水平面接触处为坐标原点0，并将该时刻定为：t=O。 (1) 在任一时刻，．P点的坐标为

x?OA?BA?AP?BA?R??Rsin??R??t?sin?t?,y?AC?DC?R?Rcos??R?1?cos?t?这就是P点轨迹的参数方程，其轨迹为一摆线。

(2)P点的速度为 vx?。

dx?R??R?cos?t,dtvy?dy?R?sin?t dt v?2vx?v2y?2R?sin?t