2013

年哈工大概率统计试题及答案

一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设随机事件A, B, C相互独立，且P(A)?0.5, P(B)?0.25, P(C)?0.2，则随机事件A, B, C至少有一个不发生的概率为________________ ．

2．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则随机变量Y?X的概率密度

fY(y)?

______________ _ _ ．

3．设X, Y是随机变量，EX?2, DX?25, EY?1, DY?16, ?XY?0.4则

E(2X?3Y?4)2? ．

24．设某种溶液中杂质的浓度服从N(?,?)，今取样4次，测得平均值x?0.834，样本标准差

s?0.0003，则?的置信度为0.95的置信区间为________________ __．

5．设随机变量X, Y相互独立，且均服从参数为8的指数分布，则

P{min(X,Y)?1}?______ ．

注：可选用的部分数值：t0.05(4)?2.1318, t0.025(3)?3.1824, t0.025(4)?2.7764,

?(1.96)?0.975, ?(1.645)?0.95．

二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设随机变量X与Y相互独立，且P(X?1)?P(Y?1)?p, P(X?0)?P(Y?0)?1?p，

?1, X?Y为偶数(0?p?1)，令Z??，要使X与Z独立，则p的值应等于

?0, X?Y为奇数（A）12． （B）14． （C）13． （D）23． 【 】 2．下列函数可作为概率密度函数的是

(x??)?1?2?2(1?|x|), |x|?1e2?, x?0? (??0)． （A）f(x)??． （B）f(x)??2π?? 0, |x|?1? 0, x?0?2? x, ?1?x?0??e??x,x?0?（C）f(x)??3x4, 0?x?2． （D）f(x)?? (??0)． 【 】

x?0?0, 其他?0,?3．设X1, X2, 差，S*

2, Xn为来自总体N(?,?2)的简单随机样本， 其中X为样本均值，S2为样本方

为样本的二阶中心矩，则

1

（A）

(n?1)S*2?2~?2(n?1)． （B）

X??n?1~t(n?1)． *S nS2X??2~?(n?1)n?1~t(n?1)． 【 】 （C）． （D） ?2S 4．设随机变量X~U[1, 7]，Y~B(8, 0.5)，且?XY?16，则根据切比雪夫不等式有

P(X?3?Y?X?3)?__________．

1251 （A）． （B）． （C）． （D）． 【 】

4636 5．设X1, X2, （A）

, Xn是来自总体N(0, 1)的简单随机样本，则下列统计量的分布中不正确的是 ~?(n)． （B）n?1Xn2?Xi?1n2i?Xi?1n?12i~t(n?1)．

2i21nn （C）?Xi~N(0, 1)． （D）(?1)?Xi22ni?1i?1?Xi?3n ~F(2, n?2)． 【 】

三、（9分）今从装有一等品2件，二等品4件的甲箱子中任取2件产品，然后将2件产品放入含有

3件一等品2件二等品的乙箱中，再从乙箱中任取1件产品，求： （1）从乙箱中取到1件一等品的概率；

（2）已知从乙箱中取出1件一等品的条件下，从甲箱中取出1件一等品和1件二等品的概率。 四、（9分）设随机变量X和Y的联合分布在以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域内服

从均匀分布。求：（1）随机变量Z?2X?Y的概率密度fZ(z)；（2）方差DZ． 五、（9分）在区间[0, 1]上任取n个点X1, X2, , Xn，记X(1)?min?X1, X2, , Xn?，

X(n)?max?X1, X2, , Xn?，X?X(n)?X(1)．求EX．

六、（9分）设总体X的概率密度为

??2x?3e??x, x?0 f(x;?)??

?0, x?0其中??0为未知参数，X1, X2, , Xn为来自总体X的简单随机样本。求：

（1）?的矩估计量；（2）?的最大似然估计量。

七、（4分）在x轴上有一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记Xn表示时刻n时质点的位

置。该质点移动的规则是：每隔单位时间，分别以概率p及概率q?1?p(0?p?1)向正 的及负的方向移动一个单位。假设质点在时刻t?0时，位于a，即X0?a (a?0)，而在0和

a?b (b?0)处各有一个吸收壁（即质点移动到0和a?b时，将不能再移动）。求质点的初始位置

2

为a而最终在a?b被吸收的概率ua.

（提示： un?pun?1?qun?1, n?1,2,,a?b?1. u0?0, ua?b?1）

一、填空题：（15分）

?0,1. 2. fY(y)??40?2?(y),390,?y?0???2?y22e,y?0??2πy?0y?0 3.148

.4.(0.8335, 0.8345). 5．1?e-16 二、选择题：（15分） 1A 2D 3B 4C 5C

三、解：（1）设A= ‘从乙箱中取到1件产品是一等品’

Bi?‘从甲箱中恰好取到i件一等品’ i?0,1,2.

i2?iC2C43?iP(A)??P(Bi)P(ABi)???7C62i?0i?022

?CC3CC4CC511??????22277721C6C6C6022412142204 5分

11C2C44?2P(B1)P(AB1)7212?4432C6????? （2）P(B1A)?

11P(A)116?5755212?1 4分

四、解：（1）三角形区域G?{(x,y):0?x?1,0?y?1,x?y?1}随机变量X和Y的联合密度为

?2 若(x,y)?G f(x,y)???0 若(x,y)?G令Z?2X?Y的概率密度函数为fZ(z)

利用和函数的概率密度公式有：fZ(z)??f(x,z?2x)dx

????x?z?2x?1,?z?x?1,??x?1,??x?1, 使f(x,z?2x)不为零的区域：??z?2x?1?z?2x?1?? 3

当1?z?2时，fZ(z)??z?12dx?2(z?1?(2z?1z?1))?z?1; 2当2?z?3时，fZ(z)??z?12dx?2(1?21z?1)?3?z; 2其它，fZ(z)?0 4分

（2）以f1(x)表示X的概率密度，则当x?0或x?1时，f1(x)?0，当0?x?1时，有

f??1(x)????f(x,y)dy??11?x2dy?2x

?EX??1202x2dx?3 EX2??1102x3dx?2

DX?EX2?(EX)2?12?419?18 同理可得 EY?213， DY?18， EXY???2xydxdy?2?110xdx?1?xydy?5G12 cov(X,Y)?EXY?EX?EY?512?49??136 于是 D(2X?Y)?4DX?DY?4COV(X,Y)?4?118?118?4?(?1136)?6 5

五、解：设X1,,Xn为取的点，则它们相互独立同分布U(0,1)， X?max{X1,,Xn} ?min{X1,,Xn}

?0,x?0?0,x?0 F?x?1 F?max(x)??xn,0?min(x)??1?(1?x)n,0?x?1

??1,x?1??1,x?1 fx)???nxn?1,0?x?1?0,其他 fn(1?x)n?1,0?x?1max(min(x)??

??0,其他 Emax??1n0nxndx?n?1 Emin??10n(1?x)n?1xdx?1n?1 8分

EX?Emax?Emin?n?1n?1 1分

4

分

六、解：（I）矩估计：EX??1?????2x30xexdx???d(ex)??e0???????x?0??

所以?的矩估计为：??x 4分 (2)极大似然估计：

L(x1,x2,?,xn)??f(xi,?)??i?1i?1nn?2xie3??xi??2nn?(x1x2?xn)ne?xii?1n?

LnL?2nLn??nLn(x1x2?xn)??i?1?xi?LnL1n1?0?2n??????i?1xi取对-1数：???2nn1?i?1xi?

?MLE为：??2nn1?i?1xi 5分

七、解：如某时刻质点位于x?n，这里1?n?a?b?1,则它要被x?a?b吸收有两种方式来实现：一种是接下去一次移动是向右的而最终被x?a?b吸收；另一种是接下去一次移动是向左的而最终被x?a?b吸收，所以利用全概率公式有：

qn?pqn?1?qqn?1,n?1,2,?,a?b?1 上式化为：

(p?q)qn?pqn?1?qqn?1,n?1,2,?,a?b?1?p(qn?1?qn)?q(qn?qn?1) ?qn?1?qn?cn??

qq(qn?qn?1)?()2(qn?1?qn?2) pp?qn?()(q1?q0)?rnc0p5