P(50?X?60)?s?50??s(60)s?50??s(60)10q50?s(50)P(X?70)?s(70)20p50?
s?70?s(50) 2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。
5|q60?s?65??s(66)s?65??0.1895,5p60??0.92094s(60)s(60)s?65??s(66)?0.2058s(65)
?q65? 3. 已知q80?0.07，d80?3129，求l81。
q80?d80l80?l81??0.07 l80l80 4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
s(20)?d1???d20d???d21d???d22?0.92,s(21)?1?0.915,s(22)?1?0.909
l0l0l022?,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为x?1100?x 5. 如果?x?（ ）。
A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56
s(x)?e?0?x?xdx?e??0x?1?100?xdxx22?100?x?????x?1?
2l0(s(1)?s(4))?2081.61 6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|q20为
1（ ）。
A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005
1|q20?l22?l21?0.006 l20第四章：人寿保险的精算现值
练 习 题
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1. 设生存函数为s?x??1? (1)趸缴纯保费ā1的值。 30:10x (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1元)： 100 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
s(x)?1?xs?(x?t)1?tpx??x?t???100s(x)100?x1001tA30:?v?tpx??x?tdt??10010?1?1dt?0.092???1.1?70102tt0t
210Var(Z)?A2130:10?(A130:10)??v2px??x?tdt?0.092??0?1?1dt?0.0922?0.055???1.21?70t 2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：1000A135:5??vk?1kpxqx?k?k?04dddd1d35(?362?373?384?395) l351.061.061.061.061.06查生命表l35?979738,d35?1170,d36?1248,d37?1336,d38?1437,d39?1549代入计算：
1000A135:5??vk?1kpxqx?k?k?014dddd1d35(?362?373?384?395)?5.747 l351.061.061.061.061.06法二：1000A35:5?1000M35?M40
D35M35?M4013590.22?12857.61?1000??5.747
D35127469.03C35143.58?1000??1.126D35127469.03C36144.47?1000??1.203D36120110.22查换算表1000A35:5?1000111000p35?1000A35:1?100011000p36?1000A36:1?1000（2）
11000p37?1000A37:1?100011000p38?1000A38:1C37145.94?1000??1.29D37113167.06 C148.05?100038?1000??1.389D38106615.43C39150.55?1000??1.499D39100432.5411000p39?1000A39:1?10001000(p35?p36?p37?p38?p39)?6.457 6
（3）
111213141A35:5?A35:?vpA?v?pA?v?pA?v?pA35235335435136:137:138:139:1135:5?A?p35?p36?p37?p38?p39
3. 设Ax?0.25, Ax?20?0.40, Ax:20?0.55, 试计算： （1） A1 。 x:201 （2） Ax:1 。改为求Ax:20 101 1??Ax?Ax:20?Ax:20?Ax?20?1 1??Ax:20?Ax:20?Ax:201 1?0.25?A?A?0.4?x:20x:20?? 1 1??0.55?Ax:20?Ax:201??Ax:20?0.05?? 1??Ax:20?0.5 4． 试证在UDD假设条件下： (1) A1x:n?i?A1x:n 。
1 (2) āx:n?Ax:n?i?A1 。 x:n 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，qx?0.5,i?0,Var?z??0.1771 ，试求qx?1。 6．已知，A76?0.8,D76?400,D77?360,i?0.03,求A77 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时
所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：5000?RA30:20?R?其中
15000 1A30:20A130:20??vk?019k?1kp30q30?k??vk?0?k?130?kll30d30?k1?k?1??vd30?kl30?kl30k?0 ? ?11111(d30?d?d???d49) 3132l301.06(1.06)2(1.06)3(1.06)20M30?M50D30查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据l30,d30,d31,d32?d49带入计算即可，或者i=0.06以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表M30,M50,D30带入计算即可。 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
7
11111(867?917?977???3144)23209846351.06(1.06)(1.06)(1.06) ?0.0177855961A30:20?R?281126.3727 8． 考虑在被保险人死亡时的那个整年数，j是死亡那年存活的完整
1年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完m1年的时段数。 m (1) 求该保险的趸缴纯保费 A(xm)。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明Ax(m)?ii(m)Ax 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35 其中
11A135:10??vk?09k?1kp35q35?k??vk?09k?135?kll35d35?k1?k?1??vd35?kl35?kl35k?0 ? ?1357011111(d35?d?d???d) 2363371044l351.06(1.06)(1.06)(1.06)M35?M4513590.22?12077.31??0.01187D35127469.03k?1kp35q35?k??vk?1070k?135?k10|A??vk?10ll35d35?k1?l35?kl35k?10?v70k?1d35?k ? ?11111(d?d?d???d105) 454647l35(1.06)11(1.06)12(1.06)13(1.06)71M4512077.31??0.09475D35127469.0311所以趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35?178.05?1895?2073.05
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：3000A50:20?1500A50:20 其中
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