时.；②当时，；③当时，

进行判断即可.

在抛物线上，代入求得

，求出二次函数表

【解析】【分析】（1）写出点的坐标，代入直线（2）直线

与轴交于点为，求出点坐标，把

达式，进而求得点A的坐标，数形结合即可求出（3）直线

与直线

交于点，与轴交于点，而直线

时，的取值范围.

表达式为

，联立方程组

，得.点，.分三种情况进行讨论.

【解答】 （1）∵点坐标是∴把

代入

，得上.

与轴交于点为，∴点坐标为

.

，

，

∴点在直线（2）如图1，∵直线又∵∴

在抛物线上，

，解得

，

，

，∴

. 时，

或

.

∴二次函数的表达式为∴当

时，得

，

观察图象可得，当的取值范围为

（3）如图2，∵直线而直线

表达式为

与直线，

交于点，与轴交于点，

解方程组，得.∴点，.

∵点在∴

.

内，

当点，关于抛物线对称轴（直线

，∴

.

）对称时，

且二次函数图象的开口向下，顶点在直线综上：①当②当③当

时，时，

时，； .

；

上，

【点评】考查一次函数图像上点的坐标特征，不等式，二次函数的性质等，注意数形结合思想和分类讨论思想在数学中的应用.

24. 我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。 （1）概念理解: 如图1,在

中,

,

.

,试判断

是否是“等高底”三角形，请说明理由.

（2）问题探究: 如图2, 线

是“等高底”三角形,

是“等底”，作

的值.

关于

所在直线的对称图形得到

,连结

交直

于点.若点是的重心,求

（3）应用拓展: 如图3,已知的倍.将

,与之间的距离为2.“等高底”绕点按顺时针方向旋转

得到

的“等底”

,

在直线上,点在直线上,有一边的长是

的值.

所在直线交于点.求

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值为,,2

【解析】分析：（1）过点A作AD⊥直线CB于点D，可以得到AD=BC=3，即可得到结论；

（2）根据 ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC， 再由 ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， 得到 ∠ADC=90°，由重心的性质，得到BC=2BD．设BD=x，则AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得AC=

x，即可得到结论；

（3）分两种情况讨论即可：①当AB=BC时，再分两种情况讨论； ②当AC=BC时，再分两种情况讨论即可． 详解：（1）是．理由如下：

如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D， ∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°． ∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=AC=3， ∴ AD=BC=3，

即ΔABC是“等高底”三角形．

（2）如图2， ∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC， ∵ ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， ∴ ∠ADC=90°． ∵点B是ΔAA′C的重心， ∴ BC=2BD． 设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x ， ∴由勾股定理得AC=∴

．

x，

（3）①当AB=BC时，

Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E， DF⊥AC于点F． ∵“等高底” ΔABC的“等底”为BC，l1//l2， l1与l2之间的距离为2， AB=BC， ∴BC=AE=2，AB=2， ∴BE=2，即EC=4，∴AC=

．

． ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45° 设DF=CF=x ．

∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴∴AC=3x=

，可得x=

，∴CD=x=

，即AF=2x． ．

Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形，

∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C， ∴ ΔACD是等腰直角三角形， ∴ CD=AC=

．

②当AC=BC时，

Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．

∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C， ∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．

Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC， ∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，

∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时， 点A′在直线l1上，

∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．

综上所述：CD的值为，，2．

点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．