直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：x?x1?x2y?y,y?12，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。 222、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2 ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或者AB?111(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2 kkk?(1?12)[(y?y)?4y1y2]。 122k3、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1 两条直线垂直，则直线所在的向量v1?v2?0
4、韦达定理：若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则x1?x2??2 bc,x1x2?。 aa常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题
问题十：范围问题（本质是函数问题） 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
x2y2??1始终有交点，求m的取值范围 例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:4mx2y2（0，?m),且m?4，如??1过动点解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:4mx2y2??1始终有交点，则m?1，且m?4，即1?m且m?4。 果直线l:y?kx?1和椭圆C:4m规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
l:y?kx?1?过定点（0，1） l:y?k(x?1)?过定点（?1，0） l:y?2?k(x?1)?过定点（?1，2）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由?2?y?k(x?1)2222消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0 ① 2?y?x2242由直线和抛物线交于两点，得??(2k?1)?4k??4k?1?0 即0?k?21 ② 42k2?12k2?11,x1x2?1。则线段AB的中点为(?,)。 由韦达定理，得：x1?x2??22k2k2k线段的垂直平分线方程为：
111?2k21111y???(x?)令y=0,得，则x??E(?,0) 02kk2k22k222k22?ABE为正三角形，?E(311AB。 到直线AB的距离d为?,0)222k221?4k2AB?(x1?x2)?(y1?y2)?k221?k21?kd?
2k231?4k2?2k2391?k251?k?解得k??满足②式此时x0?。
132k32题型三：动弦过定点的问题
x2y23例题3、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且在x轴
2ab上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
c3x2?y2?1 解：（I）由已知椭圆C的离心率e??，a?2,则得c?3,b?1。从而椭圆的方程为
a24?y?k1(x?2)（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由?2消y2x?4y?4?k整理得(1?421x)?1k6x?221k6?2116k12?42?8k12?4?02和x1是方程的两个根，??2x1?则x1?，221?4k11?4k14k12?8k124k1y1?，即点M的坐标为(,)，
1?4k121?4k121?4k1228k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)?k1?k2y?y1y2?y12??，直线MN的方程为：?，
k1?k2tx?x1x2?x1?令y=0，得x?x2y1?x1y24，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?
y1?y2t又
t?2，?0?4?2t椭圆的焦点为(3,0)?434 ?3，即t?3t故当t?43时，MN过椭圆的焦点。 3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
x2y2例题4、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC
ab过椭圆的中心O，且ACBC?0，BC?2AC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x?3对称，求直线PQ的斜率。
解：(I)
BC?2AC，且BC过椭圆的中心O
ACBC?0??ACO??OC?AC为(3,3)。
?2又
A (23,0)?点C的坐标
x2y2A(23,0)是椭圆的右顶点，?a?23，则椭圆方程为：?2?1
12b222将点C(3,3)代入方程，得b?4，?椭圆E的方程为x?y?1
124(II)
直线PC与直线QC关于直线x?3对称，
?设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为?k，从而直线PC的方程为：