参赛队号 # 1753
?： ?： ?i： A： L： 模型密度； 阻尼系数； 广义坐标； 三角形单元面积； 微分算子； 4、问题的分析
随着航空业的不断发展，飞机的不断增多，近年来飞机、直升机在近海或跨海使用
越来越频繁,发生水上迫降和坠毁事故也逐渐增多。
2009年1月15日下午（美国东部时间），US Airways 所属第1549 航班（空中客车A320客机）在起飞后不久在纽约哈德逊河紧急迫降。经及时救助，机上155人（其中包括两名机师和三名乘务人员）在飞机沉没之前全部获救。该起事故造成78 人受伤，无人死亡。
这架客机从纽约长岛拉瓜迪亚机场起飞约90 秒后遭飞鸟撞击，导致两个发动机损坏。机长萨伦伯格凭借着出色的驾驶技术和冷静的判断使飞机迫降在哈德逊河河面。而飞机上的乘客在乘务员的指挥下，有秩序地逃出紧急舱门并全部获救。
为此各国民航部门都把水上迫降安全性作为颁发飞机适航证的重点考察内容之一，我国规范也做了明确的要求。对1959年到1991年以来发生的26起商用飞机水上事故做了统计，通过对机体结构的完整性、破坏部位、座舱完整性等的观察，分析了造成伤害和死亡的主要因素，指出飞机水上迫降安全至少需要考虑两方面因素：飞机着水姿态和结构强度。通过水上迫降模型试验，可以给出飞行器允许的着水姿态,从而验证飞行器着水时不出现剧烈的“跳跃”、“翻转”等情况；在强度方面的指标是：在允许的着水姿态下，需要保证机身下部蒙皮不破裂，从而使得机舱在一定时间内不进水，以保证机身能够漂浮一段时间，为乘员安全撤离赢得足够时间。
试验和理论分析以及实际水上迫降表明，飞机要具有良好的漂浮特性，其降落应该是柔和的、没有俯冲或跳跃、向前减速度不太大、撞击压力和滑行压力也不太大。因为俯冲会给飞机结构造成灾难性破坏，跳跃会使飞机失去操纵，第二次着水也会给飞机结构造成灾难性破坏，着水时向前速度太大也会直接伤害乘员，过大的撞击压力和滑行压力会引起飞机结构的严重破坏。
水上迫降时，飞机与水面接触瞬间是面载荷，与地面撞击相比,撞击载荷又相对较小，导致常规的缓冲吸能部件压溃较小，难以发挥效能，同时由于起落架无法正常工作,未被吸收的能量很可能造成机体结构的损坏，由此水上迫降有可能导致比地面撞击更严重的伤害。如果机身下部蒙皮破裂，那么水将流入机舱，乘员很难有充足的时间逃离。
本文建立了客机缩比模型的有限元模型,采用有限单元法法通过建立客机的运动控制方程对客机的入水冲击问题进行求解。讨论客机着水时的姿态对于飞机结构压力的影响，从而得出客机在平静水面上的进行迫降以何种姿态接触水面是相对最好的选择。
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5、模型的建立
5.1 方法选取 5.1.1 有限单元法
有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的结点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的结点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 5.1.2 有限单元法求解流程
有限元运用在实际问题求解过程中，主要有七个主要步骤，分别是①对结构进行离散；②形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵；③集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵；④引入强制边界条件；⑤求解有限元求解方程，得到结点位移；⑥计算单元应变和应力；⑦进行必要的后处理。
有限元求解的七个步骤中，按照目标可以分成四个模块，分别为①选取网格离散求解域；②建立控制方程；③选择计算方法；④计算结果后处理。有限元求解步骤与求解模块的关系见图5.1。
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有限元解题步骤有限元解题模块对结构进行离散选取网格离散求解域形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵引入强制边界条件建立求解方程求解有限元求解方程，得到结点位移选择计算方法计算单元应变和应力进行必要的后处理计算结果后处理 图5.1 有限元计算方法步骤流程图
5.2 建立模型
5.2.1 选取网格离散求解域并构造插值函数
飞机主体结构为壳体，在有限元求解过程中，需要用壳单元离散飞机模型。壳单元由于厚度方向的尺寸很小，因此，在厚度方向上不划分单元。壳单元属于平面单元。在建立模型时，飞机机舱、机翼、机头和机尾等主要部件可以只用曲面建立。
另外，飞机的几何形状比较复杂，在两翼与机舱连接处的尺寸同其他地方的尺寸相比很小，不容易过度。因此，必须选择适应性较好的形状离散飞机的求解域，才能达到连续的效果。
3结点三角形单元式有限元方法中最早提出，并且至今仍广泛应用的单元，由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，因此很容易将一个区域离散成有限个三角形单元，如图5.2所示。在边界上以若干线段近似原来的曲线边界，随着单元的增多，这种拟合将趋于精确解
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图5.2 区域离散 图5.3结点三角形单元
典型的3结点三角形单元结点编号为i , j , m，逆时针转向为正向。每个结点有2个位移分量如图5.3所示。结点位移：
?ui?t??, ai??? (i ,j m?vi?t??每个单元有6个结点位移即6个结点自由度，亦即
?ai?T??ea??aj????ui?t?vi?t?uj?t?vj?t?um?t?vm?t???
?a??m? 在有限元方法中单元的位移模式一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算方便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取应由低次到高次。
3结点三角形单元位移模式选取如下多项式
??u?t???1(t)??2(t)x??3(t)y （5-1） ???v?t???4(t)??5(t)x??6(t)y它的矩阵表示是
u??? （5-2）
?? 0??0 ?? ??T其中
?u?t?? ??u???v?t????????1 x y? ????1 ?2 ?3 ?4 ?5 ??6
6个待定函数可由单元的6个结点位移来表示。在（5-1）?1?t?~?6?t?为待定函数。
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中带入结点i的坐标?xi,yi?可以得到结点i在x方向的位移ui，同理可以得到uj，um。他们表示为
?ui??1??2xi??3yi? ?uj??1??2xj??3yj （5-3）
??um??1??2xm??3ym解（5-3）式可以得到待定函数由结点位移表示的表达式。上式的系数行列式是
1xiD?1xj1xm其中A是三角形单元面积。
yiyj?2A ym按克莱姆（Cramer）法则，求解上述方程组，可求得待定函数?1?t?~?6?t?。
ui?1?t??ujumxixjxmyi1yj/D?aiui?t??ajuj?t??amum?t?? ?2Aym1ui?2?t??1uj1um1xi?3?t??1xj1xmvi?4?t??vjvmvi?5?t??vjvmxixjxmxixjxmyi1buyj/D??ii?t??bjuj?t??bmum?t?? 2Aymui1ciui?t??cjuj?t??cmum?t?? uj/D??2Aumyi1aivi?t??ajvj?t??amvm?t?? yj/D??2Aymyi1bivi?t??bjvj?t??bmvm?t?? yj/D??2Aymvi1civi?t??cjvj?t??cmvm?t?? vj/D??2Avm1xi?6?t??1xj1xm其中：
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