2. 过点(?1,0,4)，平行于平面3x?4y?z?10?0，且与直线x?1?y?3?的直线方程为 .

z相交23. 设一平面过原点和点(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8?0垂直，则此平面方程为 .

4. 动点到两定点P(c,0,0)，Q(?c,0,0)的距离之和为2a（a?c?0），则动点的轨迹方程为 .

5. 曲线L：z?x2?2y2，z?2?x2关于xOy平面的投影柱面方程是 .

二.选择题（共20分）

?????????????1．已知单位向量a，b，c满足a?b?c?0，则a?b?b?c?c?a?_____. (A) ?3/2； (B) ?1； (C) 1； (D) 3/2.

?? 2．已知向量a的终点坐标是(2,?1,0)，模|a|?14，其方向与向量{?2,3,6}同向，

?则向量a的起点坐标是_____.

(A) (?6,7,12)； (B) (6,?7,?12)； (C) (6,7,?12); (D) (6,?7,12).

???a 3．设，b，c为三个任意向量，则下列等式正确的是______. ??????????(A) a?b?b?a； (B). (a?b)c?a(b?c)；

??????????(C)(a?b)?c?c?(b?a)； (D) |a?b|?|a|?|b|.

4．平面x?y?z?5?0和5x?8y?4z?36?0确定的直线的对称式方程为____.

xy?4z?1xy?4z?1??(A) ?； (B) ?；

41?3413xy?4z?1xy?4z?1??(C) ?； (D) ?.

4?1?341?3 5．两平行平面19x?4y?8z?21?0和19x?4y?8z?42?0之间的距离为____. (A) 1； (B) 1/2； (C) 2； (D) 21. 三.计算题（每小题5分，共50分）

1. 已知向量AB?{?3,0,4}，AC?{5,?2,?14}，试求?BAC角平分线上的单位向量.

??2. 已知向量a?{1,1,4}及平面方程x?2y?2z?3?0，求向量a在平面法线向量?n上的投影和投影向量.

xyz?23. 过点M0(1,1,1)且与直线??垂直相交的直线的方程.

11?3x?1y?1z??的交点，且与平面4. 求通过平面?1：3x?y?z?5?0与直线1?11?2：3x?y?z?5?0垂直的直线的方程.

?y?4x?7y?5z?3?5. 直线L过点P(?3,5,?9)且与直线L1：?及L2：x?都相32?z?5x?10交，求直线L的方程.

6. 已知直线L为两个平面x?5y?7z?3?0和x?2y?3z?6?0的交线，求直线L在各坐标面上的投影线方程.

7. 设两个平面的方程分别为?1：2x?y?z?7?0和?2：x?y?2z?11?0. (1)求两个平面的夹角;

(2)求两个平面的角平分面的方程；

(3)求通过点M0(1,?1,1)与两个平面?1和?2交线平行且与平面?2垂直的平面方程.

8. 求过直线

(4,?3,1).

x?3y?2z?2??的两个垂直平面方程，其中一个平面通过11?759. 求点M0(2,3,1)在直线x??1?t，y??2?2t，z??2?3t上投影点的坐标. xyz10. 求直线??绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程.

326四.证明题（共10分）

?1． 线L1过点M1(x1,y1,z1)，其方向向量为s1，而直线L2过点M2(x2,y2,z2)，

?其方向向量为s2，且L1和L2不平行.试证明直线L1和L2之间的最短距离为

??|M1M2?(s1?s2)|. d???|s1?s2|2．两平行平面与任意第三个平面的交线互相平行.

思考题

1． 在空间直角坐标系中，空间的点是如何与数建立联系的？它有什么意义？ 2． 空间的向量是如何用数来表示的？它有什么意义？ 3． 在向量的数量积.向量积运算中，消去律是否成立？ 4． 判定向量平行.垂直.共面的条件是什么？ 5． 平面方程有哪几种形式？如何判断平面之间的关系？ 6． 直线方程有哪集中形式？如何判断直线之间的关系以及平面和直线之间的关

系？

第七章 向量代数与空间解析几何参考答案与提示

向量代数部分

一． 填空题 arccos31.

?2??2??2.. 2. 2. 3.

14

4. 19. 5. ?23.

6. 以 a,b为相邻边的平行四边形的面积. 7. ?27. 8. 13. 9. 是. 10. 4.

二． 选择题

1.(A) 2.(D) 3.(C) 4.(B) 5.(B) 6.(A) 7.(C) 8.(C) 9.(B) 10.(D).

三． 解答题

1. B(18,17,?17). 2. d?20211. 3. d?102.

4. B(6,?4,5).C(9,?6,10).CA?????7,1,?7?.?A?arccos413231. 5. ??40. 6. B(?3,7,0).OA???OB???13??7,?3,10?.

7.

15622. 8. (1)共面. (2)不共面. 9. VOABC?423. S1????7ABC?2|AB?AC|?63. h?63. 10.

aba?b.

提示：设

P(cos?,sin?),Q(cos(???),sin(???)),aOP???bOQ????acos??bcos(???),asin??bsin(???)?,|aOP???bOQ??

|?a2?b2?2abcos?. lim1[|aOP??|?b|OQ??|?|aOP???bOQ??|]=

??0?2?lim1ab

??0?2[a?b?a2?b2?2abcos?]?a?b.则

四． 证明题

1. 提示：先证明GA?GB?GC?0. 2. 提示：d?|AM0|sin?AM0,s?. 3. 提示：证明a?b??c. 5. 提示：c?5a?b.

??????????空间解析几何部分

一． 填空题

xy?3z?2??. 2. (3,?1,0). 3. 1. 1. 10?7?16?x2?y2?a2,4. ? 5. x?3y?z?4?0.

z?0.?6. x?3y?z?2?0. 7. 垂直. 8. 3x?4y?z?1?0,?2y?5z?3?0.

???x?20,?x??20,9. f(?x?y,z)?0. 10. 两条直线：?3和?3

???y?2?y?2.22二． 选择题

1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5(A).

三． 解答题

1. 8x?y?13z?12?626?0,或8x?y?13z?12?626?0,

4112. (5,3,5). 3. (?,?,?).

3331313134.(?,?,?), 262626(x?13213213213?)?(y??)?(z??)??. 26262636?x?3y?2z?1?0,5. l0:?或

x?y?2z?1?0,?1xy2. ??42?1z?222(y?1)2. l0绕y轴旋转一周的曲面方程为：x?z?4y?4