?Fx?pm2A2??Q3u3cos???Q2u2 ?Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1
Fx??pm2A2??Q3u3cos???Q2u2
??(32?103???5102N3.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?cos30??1000?0.2?6.37) 4Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1
?32?103??648.8N3.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?sin30??1000?0.2?6.37 4 F?Fx2?Fy2?(?5102)2?648.82?514N3
(3) 对A点列动量矩方程，得
M??Fr??Q3u3sin?x3??Q3u3cos?y3??Q1u1x1??Q2u2y2
?1000?0.2?[2?8.15?(3?sin30??5?cos30?)?6.37?(2?2.5)] ??14959N?m?14.96kN?m3－43 如图所示的盛水容器，已知H＝6m，喷口直径d＝100mm，不计阻力，求： (1) 容器不动时，水流作用在容器上的推力；
(2) 容器以2m/s的速度向左运动，水流作用在容器上的推力。 已已知知：：H=6m，d=100mm；U=2m/s。
解解析析：：(1) 列容器液面至喷嘴出口的伯努利方程，可得喷口速度为 u?2gH?2?9.81?6?10.85m/s 流量为 Q?11?d2u??3.14?0.12?10.85?0.0852m3/s 44取容器中的水体为控制体，坐标系建在容器上，方向向左，设容器对水流的反作用力为F，列动量方程，得
N F??Qu?1000?0.0852?10.85?924则水流作用在容器上的推力为924N。
(2) 当容器以2m/s的速度向左运动时，其相对速度为u?U，列动量方程，得 F??Q(u?U)?1000?0.0852?(10.85?2)?754N 所以，水流作用在容器上的推力为754N。
3－44 水射流由直径d＝6cm的喷嘴垂直向上喷射，离开喷口的速度为15m/s，若能支撑一块重100N的平板，射流喷射的高度Z为多少？
已已知知：：d=6cm，u1=15m/s，W=100N。
解解析析：：(1) Q?11?d2u1??3.14?0.062?15?42.39?10?3m3/s 44取管嘴出口至平板间的水体为分析对象，建立坐标系，方向垂直向上，设射流冲击平板时的速度为u2，根据动量方程
?W??Q(0?u2) 则 u2?W100??2.36m/s ?3?Q1000?42.39?10(2) 列管嘴出口至平板间的伯努利方程，得
2u12u2??z
2g2g2u12?u2152?2.362??11.2m 所以 z?2g2?9.813－45 喷嘴直径25mm，每个喷嘴流量为7L/s，若涡轮以100r/min旋转，计算它的功率。 已已知知：：d=25mm，R=0.6m，Q=7×10-3m3/s，n=100r/min。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得喷嘴出流速度为
4Q4?7?10?3 u???14.27m/s 22?d3.14?0.025喷嘴自身的旋转速度为
u0??R?2?n2?3.14?100 ?R??0.6?6.28m/s6060所以，单个喷嘴的射流反作用力为 F??Qu 那么，射流的总功率为
?3 N?4Fu0?4?Quu0?4?1000?7?10?14.27?6.28?2509W?2.51kW
3－46 臂长皆为10cm的双臂喷水装置，喷水口直径为1cm，在3cm直径的中心供水管内水流速度为7m/s，求：
(1)转臂不动时需施加的力矩；
(2)使转臂以150r/min的转速反时针方向旋转需施加矩。
已已知知：：d=1cm，D=3cm，u0=7m/s，R=10cm；ω=150r/min，q=0.5Q。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得 Q?的力
11?D2u0??3.14?0.032?7?4.946?10?3m3/s 444q4?0.5?4.946?10?3喷嘴出口流速为 u???31.5m/s 22?d3.14?0.01那么，根据动量方程，转臂不动时所需施加的力矩为
M?2?quR??QuR?1000?4.946?10?3?31.5?0.1?15.58N?m
(2) 当转臂以150r/min的转速逆时针方向旋转时，转臂的旋转速度为
2?nR2?3.14?150?0.1 ??1.57m/s6060那么，射流的绝对速度为u?U，这是需要施加的力矩为
U??R? M??Q(u?U)R?1000?4.946?10?3?(31.5?1.57)?0.1?16.36N?m
3－47 有一向后喷射水流作为动力的机动船逆水航行，河水流速为1.5m/s，相对于河岸的船速为9m/s，船尾喷口处相对于船体的流速为18m/s，流量为0.15m3/s，求射流对船体的推力。
已已知知：：u0=1.5m/s，u1=9m/s，u2=18m/s，Q=0.15m3/s。 解解析析：：根据题意知，河水相对于船体的速度为
u0?u1，而喷射流体相对于船体的速度为u2，设射流
对船体的推力为F，列动量方程，得
N F??Q(u2?u0?u1)?1000?0.15?(18?1.5?9)?11253－48 装在小车上的水箱侧壁有一流线型喷嘴，直径为20mm，已知h1＝1m，h2＝2m，射流恰好平顺地沿小坎转向水平方向离开小车。求：(1)射流对水箱的水平推力；(2)射流对小车的水平推力；(3)射流对小坎的水平推力。
已已知知：：d=20mm，h1=1m，h2=2m。
解解析析：：(1) 设喷嘴出口流速为u1，小坎出口出的流速为u2，分别列出水箱自由液面至喷嘴出口及小坎出口的伯努利方程，可得
u1?2gh1?2?9.81?1.0?4.43m/s
u2?2g(h1?h2)?2?9.81?(1.0?2.0)?7.67m/s Q?11?d2u1??3.14?0.022?4.43?1.39?10?3m3/s 44(2) 设射流对水箱的水平推力为F1；射流对小车的水平推力为F2；射流对小坎的水平推力为F。那么，根据动量方程，得
F1??Qu1?1000?1.39?10?3?4.43?6.16N ?7.67?10.66N
F2??Qu2?1000?1.39?10?3 F?F2?F1?10.66?6.16?4.5N
第四章 流体的有旋流动和无旋流动
4－1 下列流场是否连续？是否无旋？若为无旋流动，试描述其流动情景：
(1) ux?4y，uy??3x； (2) ux?4xy，uy?0； (3) ur?，uθ?0； (4) ur?0，uθ?crc。 r已已知知：：流场的速度分布。
解解析析：：① 根据不可压缩流体的连续性方程场是否连续；
② 根据流体微团的角速度计算公式?z?u?u?u?ux?uy??0或r?r?θ?0，判断流
r?rr???x?y?u1u?u1?uy?ux计算(?)或?z?(θ?θ?r)，
2r?rr??2?x?y出流体微团的各角速度分量，以此来判断流场是否无旋；
③ 根据流函数的微分式d???uydx?uxdy或d???uθdr?urrd?求出流线方程，依此绘出流线图形，来描绘流场的流动情景。
?ux?uy(1) ??0?0?0，该流场是连续的；
?x?y
?z?(1?uy?ux11?)?(?3?4)??3，该流场为有旋流场。
2?x?y22?ux?uy(2) ??4y?0?0，该流场不连续；
?x?y
?z?(1?uy?ux1?)?(0?4x)??2x，该流场为有旋流场。
2?x?y2ur?ur?uθcc???2?2?0?0，该流场是连续的； (3) r?rr??rr ?z?1uθ?uθ?ur1(??)?(0?0?0)?0，该流场为无旋流场。 2r?rr??2将速度分量代入流函数微分式，得
d???uθdr?urrd??0?积分得 ??c??C?
crd??cd? r令?＝常数，得流线方程为??C。可见，流线为从原点发出的射线族。
(4)
ur?ur?uθ???0?0?0?0，该流场是连续的； r?rr??1uθ?uθ?ur1cc(??)?(2?2?0)?0，该流场为无旋流场。 2r?rr??2rr ?z?将速度分量代入流函数微分式，得
d???uθdr?urrd???dr?0??c积分得 ???clnr?C?
令?＝常数，得流线方程为r?C。可见，流线为同心圆周线族。
4－2 下列两个流动哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个无角变形？式中a、c为常数。
(1) ux??ay，uy?ax，uz?0 (2) ux??crdr rcycx，u?，uz?0 yx2?y2x2?y2已已知知：：流场的速度分布。 解解析析：：(1)
1?uy?ux1?z?(?)?(a?a)?a，该流动有旋；
2?x?y2
?z?(1?uy?ux1?)?(a?a)?0，该流动无角变形。
2?x?y21?uy?ux1c(y2?x2)c(x2?y2)(2) ?z?(?)?[2?]?0，该流动无旋；
2?x?y2(x?y2)2(x2?y2)21?uy?ux1c(y2?x2)c(x2?y2)c(x2?y2) ?z?(，该流动有角变形。 ?)?[2?2]??22222222?x?y2(x?y)(x?y)(x?y)4－3 证明下列二维流场是无旋的，并找出经过(1，2)点的流线方程。 ux?x?y?x，uy??(2xy?y)
22已已知知：：ux?x?y?x，uy??(2xy?y)
22解解析析：：(1)
?z?(1?uy?ux1?)?(?2y?2y)?0，所以，该二维流场是无旋的；
2?x?y2