解解析析：：(1) 设油水分界面上的相对压力为p0。由静力学方程得U型管液、水分界面上的相对压力为
p0??水h?S?水R
则 p0?(SR?h)?水?(3.0?1?2)?9810?9810Pa A点的相对压力为
pA?p0?RS油?水?(1?1?0.8)?9810?1962N 圆弧闸门所受的水平分力为 Px?(p0?11RS油?水)Rb?(1??1?0.8)?981?01?2?1177N2 22对应于水平分力的压力中心的位置(A点以下)为
13bR?油?油Ixc112hD?hc??R?1(pA??油hc)A2(pA?R?油)Rb 212?12?0.8?9810??1??0.722m1212?(196?2?1?0.8?981)02水平分力的方向水平向左。
圆弧闸门所受的垂直分力为
1Pz?pAAz?VP?油?pARb?(R2??R2)bS油?水4
1?1962?1?2?(1??3.14)?12?2?0.8?9810?729.86N4垂直分力的方向垂直向上。
垂直分力的作用线距A点的水平距离为 l?对A点取矩，得 FR?PxhD?Pzl 则 F?4R4?1??0.425m 3?3?3.14PxhD?Pzl11772?0.722?7298.6?0.425??1.16?104N?11.6KN
R12－38 用一圆柱形圆木挡住左边的油，油层浮在水面上，设圆木正处于平衡状态，试求：(1)单位长圆木对岸的推力；(2)单位长圆木的重量；(3)圆木的比重。
已已知知：：R=0.8m，S油=0.8。
解解析析：：(1) 由于圆木下部左右两侧所受水的水平作用力大小相等，方向相反，互相抵消，所以，圆木所受的水平分力为油的水平作用力，即
Px?11?油R2l??0.8?981?00.82?1?251N1 22那么，单位长圆木对岸的水平推力为2511N。
(2) 根据图意可知，圆木上部油的压力体体积为VP1?(R2??R2)l，其垂直分力的方向向下；圆木下部水的压力体体积为VP2?141?R2l，其垂直分力的方向向上。若设油水分界面上的2相对压力为p0，p0??油R，所以圆木所受的总垂直分力为
11Pz?VP1?油?(p0Az2?VP2?水)?(R2??R2)l?油?(2R2l?油??R2l?水)42
11?[(1??3.14)?0.8?(2?0.8??3.14)]?0.82?1?9810??1882N342上式中的负号说明垂直分力的方向是向上的。由于圆木处于平衡状态，所以单位长圆木的重量等于圆木所受的垂直分力，为18823N。
(3) 圆木的比重为 S?W18823??0.955 2V?水3.14?0.8?1?98102－39 半径为R的封闭圆柱形容器内装满重度为γ的液体，测压管如图所示，试求：(1)作用在单位长AB面上的水平分力及作用线；(2)作用在单位长AB面上的铅垂分力及作用线。
已已知知：：R，γ。
解解析析：：(1) 由于BD所在的水平面上的相对压力为0，则A点处的相对压力为 pA???R。 那么，作用在单位长AB面上的水平分力为 Px??水平作用线距A点的垂直距离为
12R? 21bR3??Ixc1112 hD?hc??R??R 1(pA??hc)A23(??R??R)bR2(2) 作用在单位长AB面上的垂直分力为
11444R垂直作用线距圆柱形容器中心的水平距离为。
3?2－40 一直径d＝2m的圆柱体，长度l＝1m，放置于α＝60°的斜面上，一侧有水，水深h
Pz?pAAz??VP???R2?(R2??R2)????R2? ＝1m，求此圆柱体所受的静水总压力。
已已知知：：d=2m，h=1m，l＝1m，α＝60°。 解解析析：：(1) 由于圆柱体下部两侧所受的水平分力相等、相互抵消，所以，圆柱体所受的水平分力为
Px?pcAx?121?hl??981?012?1?4905N 22(2) 由图根据已知条件可知，压力体的体积为左下部半圆与右上方直角三角形的面积之和，所以，圆柱体所受的垂直分力为
11pz??Vp??(?d2?h2tg?)l82
11?9810?(?3.14?22??12?tg60?)?1?2387.49N82垂直分力的方向向上。因此，圆柱体所受的静水总压力为
P?Px2?Pz2?49052?23879.42?2.44?104N
静水总压力与水平面的夹角为
??tg?1Pz23879.4?tg?1?78.4? Px49052－41 油库侧壁有一半球形盖，直径为d＝0.6m，半球中心在液面下的淹没深度H＝2.0m，测压管中液面高出油库中液面的高度h＝0.6m，石油重度为6867N/m3，试求液体作用在半球盖上的水平分力及铅垂分力。
已已知知：：d=0.6m，H=2.0m，h=0.6m，γ=6867N/m3。 解解析析：：(1) 油库中液面上的相对压力为 p0??h?6867?0.6?4120.2Pa 那么，液体作用在半球盖上的水平分力为
1Px?pcAx?(p0??H)??d24
1?(4120.2?6867?2.0)??3.14?0.62?504.56N4(2) 半球盖的压力体体积为
1球的体积，液面上压力p0对半球盖上半部分作用的垂直分力，2与对下半部分作用的垂直分力相等，相互抵消，所以，液体作用在半球盖上的铅垂分力为
Pz??VP?11?d3???3.14?0.63?6867?388.1N 1212第三章 流体动力学基础
????3－1 已知速度场为u?2(x?y)i?(x?y)j?(x?z)k (m/s)，求(2，3，1)点的速度和加
速度。
已已知知：：ux?2(x?y)，uy?x?y，uz?x?z 解解析析：：(1) (2，3，1)点的速度为
，uy?x?y??1m/s，uz?x?z?1m/s ux?2(x?y)?10m/s u?ux?uy?uz?10?(?1)?1?10.10m/s
222222(2) (2，3，1)点的加速度为
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z
?0?2(x?y)?2?(x?y)?2?0?6x?2y?6?2?2?3?18m/2say??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?0?2(x?y)?1?(x?y)?(?1)?0?x?3y?2?3?3?11m/2s
az??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z
?0?2(x?y)?1?0?(x?z)?(?1)?x?2y?z?2?2?3?1?9m/2s a?222ax?ay?az?182?112?92?22.93m/s2
????23－2 已知速度场为u?(3x??)i?2(??y)j?(4y?3)zk (m/s)，求τ＝2秒时，位于(2，
2，1)点的速度和加速度。
已已知知：：ux?3x??，uy?2(??y2)，uz?(4y?3)z 解解析析：：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为
ux?3x???8m/， suy?2(??y)??4m/，suz?(4y?3)z?5m/s u?ux?uy?uz?8?(?4)?5?10.25m/s (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为
2222222
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z
?1?(3x??)?3?0?0?3(3x??)?1?3?(3?2?2)?1?25m/2say?
?uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?2?0?2(??y2)?(?4y)?0?8y(y2??)?2?8?2?(22?2)?2?34m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z
?0?0?2(??y2)?4z?(4y?3)2z2?8z(??y2)?(4y?3)2z?8?1?(2?22)?(4?2?3)2?1?9m/s
a?222ax?ay?az?252?342?92?43.15m/s2
???3－3 已知二维流场的速度分布为u?(4y?6x)?i?(6y?9x)?j (m/s)。问：
(1)该流动是稳定流还是非稳定流？是均匀流还是非均匀流？ (2)τ＝1秒时，(2，4)点的加速度为多少？ (3)τ＝1秒时的流线方程？
已已知知：：ux?(4y?6x)?，uy?(6y?9x)?
解解析析：：(1) 因为速度与时间有关，所以该流动是非稳定流动；由下述计算得迁移加速度为零，流线为平行直线，所以该流动是均匀流动。
(2) 加速度的计算式为
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z
?(4y?6x)?(4y?6x)??(?6?)?(6y?9x)??4??2(2y?3x)ay??uy?ux?uy?uy?uy?uz?uy
???x?y?z?(6y?9x)?(4y?6x)??(?9?)?(6y?9x)??(6?)?3(2y?3x)则τ=1秒、位于(2，4)点的加速度为
ax?4m/s，ay?6m/s；a? (3) 将速度分量代入流线微分方程，得 (6y?9x)?dx?(4y?6x)?dy?0 分离变量，积分得 (9x?4y?12xy)??C 或写成 (3x?2y)??C
简化上式，得τ=1秒时的流线方程为 (3x?2y)?C?
3－4 已知速度场为ux?2y???， uy?2x?，uz?0。求τ＝1时，过(0，2)点的流线方程。
3已已知知：：ux?2y?＋?，uy?2x?，uz?0
32222222ax?ay?7.21m/2s
解解析析：：将速度分量代入流线微分方程，得
2x?dx?(2y???3)dy?0? ?
dz?0?积分上式，得
(x2?y2)??y?3?C1? ?
z?C2?则 τ=1秒时，过(0，2)点的流线方程为