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二次函数与几何图形综合题

1.如图，抛物线y??x2?4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．

（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式； （2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；

（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

解：（1）∵在y??x2?4中，当y＝0时，即?x2?4=0， 解得x＝±2．

当x＝0时，即y＝0+4，解得y＝4．

∴点A、B、C的坐标依次是A（－2，0）、B（2，0）、C（0，4）. 设直线BC的解析式为y＝kx＋ｂ（k≠0），

?2k?b?0则?, ?b?4?k?-2解得?,

b?4?∴直线BC的解析式为y＝－2x＋4； （2）∵点E在直线BC上， ∴设点E的坐标为（x，－2x＋4）， 则△ODE的面积S可表示为：

1S＝x（－2x＋4）＝－x2＋2x＝－（x－1)2＋1，

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∴当x＝1时，△ODE的面积有最大值1， 此时，－2x＋4＝－2×1＋4＝2， ∴点E的坐标为（1，2）；

（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下： 设点P的坐标为（x，－x2＋4），0＜x＜2， ∵△OAC与△OPD都是直角三角形，

-x2?4xPDOD?， ∴分两种情况：①当△PDO∽△COA时，，有?42COAO解得x1?5?1,x2??5?1（不符合题意，舍去）， 当x=5-1时，y=-(5-1)2+4=25-2. 此时点P的坐标为（5-1,25-2）;

-x2?4xPDOD?, ②当△PDO∽△AOC时，?,有24AOCO解得x3??1?65?1-65，x4?（不符合题意,舍去）, 44当x??1?65?1?652?1?65)?4?时，y??(,

448?1?65?1?65，）， 48此时，点P的坐标为（

综上可得，满足条件的点P有两个：

P1（5-1,25?1?65?1?65?1?65-2），P2（，）. 4482.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（-4，0），B（-1，3）， C（-3，3）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（ｍ，ｎ）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求ｍ、ｎ的值.

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第2题图

解：(1)将A（－4，0），B（－1，3），C（－3，3）代入y＝ax2＋bx＋ｃ，

?16a?4b?c?0?得?a?b?c?3， ?9a?3b?c?3?解得：a＝－1，ｂ＝－4，ｃ＝0． 故此二次函数的解析式为y＝－x2－4x；

(2)如解图所示：由题可知，M、N点坐标分别为（－4－ｍ，ｎ），（ｍ＋4，ｎ）， 四边形OAPN的面积＝（OA＋NP）÷2×n＝20， 即4n＝20， ∴n＝5．

∵点P（ｍ，ｎ）在第三象限， ∴ｎ＝－5，

∴－ｍ2－4ｍ＋5＝0， 解得ｍ＝－5或ｍ＝1（舍去）,

第2题解图

故所求ｍ、ｎ的值分别为－5，－5． 3. 如图，在直角坐标系内有 点 P（1,1）、点 C（1,3）和二次函数y??x2 ． （1）若二次函数y??x2的图象经过平移后以点C 为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；

（2）若（1）中平移后的抛物线与x轴交于点A、点B（A点在B点的左侧），求 cos∠PBO的值；

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