课时分层作业(十五) 向量数量积的坐标运算

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于( ) 11

A．1 B． C．－ D．－1

22

A [由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1，所以x＝1.]

→→

2.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量CD在BA方向上投影的数量是( )

A．－35

32B．－

232D．

2

C．35

→

A [依题意得，BA＝(－2，－1)， →

CD＝(5,5)，BA·CD＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，

→→

→→→BA·CD－15|BA|＝5，因此向量CD在BA方向上投影的数量是＝＝－35，选A．]

→5|BA|3.设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b等于( ) 7A．－ 23C． 2

D [由向量a＝(－1,2)，b＝(m,1) 得a＋2b＝(－1＋2m,4)， 2a－b＝(－2－m,3)，由题意得

1

3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，

25?1?所以a·b＝－1×?－?＋2×1＝.] 2?2?

4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等

1

B．－ 25D． 2

→→

于( )

1

?77?A．?，? ?93??77?C． ?，? ?39?

77B．(－，－)

397??7

D．?－，－?

3??9

D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴ 2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 77

联立①②解得x＝－，y＝－. 937??7

所以c＝?－，－?.]

3??9

5．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )

A．5 C．25

B．10 D．10

B [∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴ x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴ y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，

∴|a＋b|＝3＋?－1?＝10.]

6．已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是( ) A．a与b的夹角是直角 B．a与b的夹角是锐角 C．a＋b与a－b的夹角是钝角

D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量 D [由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得

2

2

a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角．

(a＋b)·(a－b)＝a－b＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．

2

2

a·b24

a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝－，b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，

|b|5a·b24

b〉＝＝－.故选D．]

|a|5

二、填空题

7．已知向量a＝(1，－3)，b＝(－3，1)，则a与b夹角的大小为____．

2

5π

[∵ 向量a＝(1，－3)，b＝(－3，1)， 6

∴a与b夹角θ满足

a·b233

cos θ＝＝－＝－，

|a|·|b|2×22

5π

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]

6

8．已知向量a＝( 1, 2)，b＝( x, 4)，且a∥b，则 |a－b|＝________. 5 [由题意，向量a∥b，则4－2x＝0，解得x＝2，所以b＝(2,4)， 则a－b＝(－1，－2)，所以|a－b|＝?－1?＋?－2?＝5.]

→→→

9．已知矩形ABCD的中心为O，AD＝2，若AC·DB＝8，则∠BAC＝__________， 向量AD与CO的夹角为________．

→→→→→π2π

[因为矩形ABCD的中心为O，AD＝2，得AB·DA＝0，由AC·DB＝8，得(AB＋63→

2

2

→→→→→→→→→→

AD)·(DA＋AB)＝8，所以AB·DA＋AB2－AD2＋AD·AB＝AB2－4＝8，

→2→

即AB＝12，|AB|＝23.

如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，

则A(－3，－1)，B(3，－1)，C(3，1) ，D(－3，1)， →→

得AB＝(23，0) ，AC＝(23，2) ，

→→→

OA＝(－3，－1) ， OB＝(3，－1) , AD＝(0,2)， →→→

CO＝(－3，－1)，得AB·AC＝12，

→→

|AB|＝23，|AC|＝4 ，

→→AB·AC123

所以cos ∠BAC＝＝＝，

→→23×42 |AB||AC|π

且0<∠BAC<π，所以∠BAC＝.

6

→→→→AD·CO－21cos 〈AD， CO〉＝＝＝－，

→→2×22|AD||CO|→→2π

且0≤〈AD，CO〉≤π，所以∠AOB＝.

3

3