第一、二章滚动测试

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

→

1．设A(1,2)，B(－2,5)，则|AB|＝( ) A.5 B.29 C．3 2 D．4 答案：C

→→

解析：AB＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴|AB|＝?－3?2＋32＝3 2.

2．如果函数f(x)＝sin(2πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么( )

π

A．T＝1，θ＝ B．T＝1，θ＝π

2

π

C．T＝2，θ＝π D．T＝2，θ＝ 2

答案：A

2ππ

解析：T＝＝1，sin(2π＋θ)＝1，θ＝.

2π2

π2

－，0?，则tanα等于( ) 3．已知sin(α－π)＝，且α∈??2?3

2525A. B．－

5555C. D．－ 22答案：B

225225

解析：sin(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－＝－. 33355cosα2sinα

4．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为( )

1－sin2α1－cos2α

A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案：B

解析：由角α的终边落在第三象限得sinα<0，cosα<0，

cosα2sinαcosα2sinα

故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.

|cosα||sinα|－cosα－sinα

→→

5．已知平面内三点A(－1,0)，B(5,6)，P(3,4)，且AP＝λPB，则λ的值为( ) A．3 B．2 11C. D. 23答案：B

→→

解析：因为AP＝λPB，所以(4,4)＝λ(2,2)，所以λ＝2.

11

6．已知sinα－cosα＝，则tanα＋等于( )

3tanα

87A. B. 93911C. D. 44答案：C

1114

解析：由sinα－cosα＝可得(sinα－cosα)2＝，即1－2sinαcosα＝，sinαcosα＝，则tanα

3999

＋

1sinαcosα19＝＋＝＝. tanαcosαsinαsinαcosα4

π

7．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而

3

横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是( )

ππ2x＋? B．y＝sin?2x－? A．y＝sin?3?3???

2π2π2x＋? D．y＝sin?2x－? C．y＝sin?3?3???

答案：C

解析：将y＝sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin2x的图象，

π2π

x＋?＝sin?2x＋π?的图象． 再沿x轴向左平移个单位，得到y＝sin2?3??3??3

→→

8．设i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且AB＝8i＋4j，AC＝6i＋8j，则△ABC的面积等于( )

A．60 B．40 C．28 D．20 答案：D

→→→→→

解析：BC＝AC－AB＝－2i＋4j，所以AB⊥BC.

1→→122

所以S△ABC＝|AB|·|BC|＝8＋4·?－2?2＋42＝20.

22

π

9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为

2

( )

ππ?A．y＝－4sin??8x＋4? ππ?B．y＝4sin??8x－4?

ππ?

C．y＝－4sin??8x－4?

ππ?

D．y＝4sin??8x＋4? 答案：A

ππ

解析：先确定A＝－4，由x＝－2和6时y＝0可得T＝16，ω＝，φ＝. 84

10．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )

π5π

kπ－，kπ＋?，k∈Z A.?1212??

5π11π

kπ＋，kπ＋?，k∈Z B.?1212??

ππ

kπ－，kπ＋?，k∈Z C.?36??

π2π

kπ＋，kπ＋?，k∈Z D.?63??

答案：C

π

ωx＋?的图象与直线y＝2解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．函数f(x)＝2sin?6??π2π

2x＋?.的两个相邻交点就是函数f(x)的两个最大值点，周期为π＝，ω＝2，于是f(x)＝2sin?6??ω

πππππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ＋，故选C.

26236

11．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的模等于|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(1，3)，b＝(－3，－1)，则|a×b|＝( )

A.3 B．2 C．2 3 D．4 答案：B

a·b－2 331

解析：∵cosθ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴sinθ＝1－cos2θ＝，|a×b|＝

|a|·|b|2×222

|a|·|b|sinθ＝2.

12．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )

1010A．λ< B．λ≤

33106106

C．λ≤且λ≠－ D．λ<且λ≠－

3535

答案：D

10

解析：由题可知a·b＝－3λ＋10>0，λ<，当a与b共线，且方向相同时，设a＝(λ，

3

??λ＝－3μ，6106

2)＝μ(－3,5)(μ>0)，∴?得λ＝－，∴λ的取值范围是λ<且λ≠－.

535?2＝5μ，?

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β是常数)，且f(2009)＝5，则f(2010)＝________.

答案：3

解析：f(2009)＝αsin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝5 ∴asinα＋bcosβ＝－1.f(2010)＝asinα＋bcosβ＋4＝3.

14．已知a＝(2,1)b＝(1，λ)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．

11

－2，?∪?，＋∞? 答案：?2??2??

2＋λa·b

解析：若a与b的夹角为锐角，则cosθ>0且cosθ≠1.cosθ＝＝∴λ>－2.

|a|·|b|5·1＋λ2

11

又2＋λ≠5·1＋λ2∴λ≠∴λ的范围是λ>－2且λ≠.

22ππ

ωx＋?(x∈R)，f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正15．函数f(x)＝2sin?3??2

数ω的值为________．

答案：1

πTπ

解析：由f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于可知＝，T＝2π，∴ω＝1.

242

→→→

16．如图，在正方形ABCD中，已知|AB|＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则AB·AN的最大值是________．

答案：4

→→→→→→→→

解析：∵AB·AN＝|AB||AN|·cos∠BAN，|AN|·cos∠BAN表示AN在AB方向上的投影，又|AB→→|＝2，AB·AN的最大值是4.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2sin?α－π?＋3tan?3π－α?4

17．(10分)已知sin(α＋π)＝，且sinα·cosα＜0，求：的值．

54cos?α－3π?

4

解：∵sin(α＋π)＝

5

4

∴sinα＝－＜0.

5

169

∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝

2525

又sinα·cosα＜0

3

∴cosα＞0.∴cosα＝. 5

3sin?π－α?

－2sin?π－α?＋cos?π－α?

原式＝ 4·cos?π－α?3sinα

－2sinα＋

－cosα

＝ －4·cosα2sinα·cosα＋3sinα＝ 4cos2α434－?×－×32×??5?557＝＝－. 934×25

π?π?＝1. x＋?－tanα·18．(12分)已知f(x)＝sin?cosx，且f?6??3?2

(1)求tanα的值；

(2)求函数g(x)＝f(x)＋cosx的对称轴与对称中心．

π?π11?π＋π?－tanα·解：(1)∵f?＝sincos＝1－tanα＝，∴tanα＝1. ?3??36?322

ππx＋?－cosx＋cosx＝sin?x＋?. (2)g(x)＝f(x)＋cosx＝sin??6??6?πππ

∴x＋＝kπ＋，即对称轴：x＝kπ＋，k∈Z

623

ππ

kπ－，0?，k∈Z. ∴x＋＝kπ，即对称中心：?6??6

19．(12分)设两个向量a，b不共线．

→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)若 |a|＝2，|b|＝3，a、b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k.

→→→→→

解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋2a＋8b＋3(a－b)＝6(a＋b)＝6AB， →→

∴AD与AB共线，即A、B、D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb垂直， ∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2＝0， ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos60°＋kb2＝0， 3k2＋13k＋3＝0，

－13±133

解得：k＝. 6

π

A>0，ω>0，|φ|

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．

T

解：(1)由题可知A＝2，＝6－(－2)＝8，∴T＝16，

2π2ππ

x＋φ?. ∴ω＝＝，则f(x)＝2sin??8?T8

π

又图象过点(2，2)，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋(k∈Z)．

4

ππ?ππ

又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin??8x＋4?. 24

3πππ

0，?， (2)∵x∈[－2,4]，∴x＋∈?4?84?

πππ

当x＋＝，即x＝2时，f(x)max＝2； 842ππ

当x＋＝0，即x＝－2时，f(x)min＝0. 84

→→→

21．(12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB， 求：(1)t为何值时，P在第二象限？

(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的值，若不能，请说明理由．

→→→

解：(1)∵OP＝OA＋tAB＝(3t＋1,3t＋2)，

21

∴当－

33

(2)不能构成四边形． →→

∵OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)，

→→→

∴使OA，PB共线，则3－3t－(6－6t)＝0，解得t＝1，此时PB＝(0,0)，∴四边形OABP不能构成平行四边形．

π

2x＋?＋1. 22．(12分)已知函数f(x)＝2sin?3??

4

(1)当x＝π时，求f(x)值；

3

(2)若存在区间[a，b](a，b∈R且a

4ππ4

2×＋?＋1＝2sin(3π)＋1＝2sinπ＋1＝1. 解：(1)当x＝π时，f(x)＝2sin?33??3

π1π7

2x＋?＝－?x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z， (2)f(x)＝0?sin?3??2412

π2π

即f(x)的零点相离间隔依次为和，

33

2ππ7π

故若y＝f(x)在[a，b]上至少含有6个零点，则b－a的最小值为2×＋3×＝. 333